HDU 1098 Ignatius's puzzle

最新推荐文章于 2024-08-03 08:00:00 发布

chenjun15

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本文探讨了一种数学问题解决方法，通过分析等式f(x+1)=f(x)+5*((13 1)x^12+...+(13 13)x^0)+13*((5 1)x^4+...+(5 5)x^0)+k*a，并利用同余方程ax+by=c的解的存在条件，最终求解出使18+k*a能被65整除的最小正整数解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

65|f(x) 表示是f(x)能被65整除。

思路：
则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;

很容易证明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除. 且 f(1)=18+k*a
那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.

由 18+ka=n*65 得 k*a+65*n = 18 (n,a ∈ N*)

ax+by = c 方程有解的一个充要条件是：c % gcd(a, b) == 0。

然后枚举直到65*n-18%k == 0为止。

#include <cstdio>

int gcd(int n, int m)
{
	while (m) {
		int t = m;
		m = n % m;
		n = t;
	}
	return n;
}

bool exans(int c, int a, int b)
{
	return c % gcd(a, b) == 0;
}

int main()
{
	int k;
	while (scanf("%d", &k) != EOF) {
		if (!exans(18, 65, k))
			puts("no");
		else {
			int i = 1;
			while ((65 * i - 18) % k)
				++i;
			printf("%d\n", (65 * i - 18) / k);
		}
	}
}