GCD(Greatest Common Divisor)最大公约数

两个整数的最大公约数是能整除这两个整数的最大数。

下面给出几种算法，求两个整数和的最大公约数。

一种是穷举法。该算法检测（k=2,3,4,等等）是否是和的公约数，直到大于或者。该算法可以如下描述：

public static int gcd(int m,int n){
    int gcd = 1;

    for(int k=2;k<=m&&k<=n;k++){
        if(m%k==0&&n%k==0)
        gcd=k;
    }
    return gcd;
}

假设 ；那么显然该算法的复杂度是 。

是否还有更好的算法呢？不是从1开始查找可能的除数，而是从开始向下查找，这样效率会更高。一旦找到一个除数，该除数就是最大公约数。

public static int gcd(int m,int n){
    int gcd = 1;

    for(int k=n;k>=1;k--){
        if(m%k==0&&n%k==0)
            gcd=k;
            break;
    }
    return gcd;
}

这个算法比之前的一个效率更高，但是它的最坏情况的时间复杂度依旧是。

其实，我们还可以知道，数字n的除数不可能比大；因此可进一步提高算法效率；但是仅仅考虑到k至多是或的1/2是不够的，因为可能会是的除数，于是算法可以如下表示：

public static int gcd(int m, int n) {
		int gcd = 1;

		if (m % n == 0)
			return n;

		for (int k = n / 2; k >= 1; k++) {
			if (m % k == 0 && n % k == 0) {
				gcd = k;
				break;
			}

		}
		return gcd;
	}

假设，那么这个for循环最多执行n/2次，只是前一个算法的一半。该算法的时间复杂度仍然是。

求最大公约数的一个更有效的方法是在公元前300年作于由进欧几里得发现的，这是最古老的著名算法之一。他可以递归的定义为：

用表示整数m和n的最大公约数：

 如果为0；那么为。

 否则，就是。

不难证明这个算法的正确性。假设，那么，，这里的是的商。能整除和的任意数字都必须也能整除。因此，和是一样的，其中。该算法的实现程序如下：

public static int gcd(int m,int n){
		if(m%n==0)
			return n;
		else
			return gcd(n,m%n);
	}

最好的情况是当 为0的时候，算法只用一步就能找出最大公约数。分析平均情况是很困难的，但是，可以证明最坏情况的时间复杂度是