斐波拉契数

最新推荐文章于 2024-10-13 15:26:55 发布

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本文深入探讨了斐波拉契数列的递归实现存在的效率问题，并提出了一种改进的迭代方法。通过避免重复计算相同参数的斐波拉契数，显著提高了算法的效率。详细解释了递归方法的复杂度和改进方法的实现，最终展示了一个复杂度更低的高效解决方案。

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1.斐波拉契数列的一般递归方法如下：

public static long fib(long index){
	if(index==0)
		return 0;
	else if(index ==1)
		return 1;
	else
		return fib(index-1)+fib(index-2);
}

2.算法复杂度

我们可以证明这个算法的复杂度是。假设是找出的算法的复杂度，而表示比较下标为0和下标为1的数耗费的常量时间，也就是是。

可以发现是。

3.这个算法的效率不算高，递归的fib方法中的问题在于冗余的调用同样参数的方法。列如，为了计算fib（4），要调用fib（3）和fib（2）。为了计算fib（3），要调用fib（2）和fib（1）。注意，fib（2）被调用多次。我们可以通过避免重复调用同样参数的fib方法来提高效率。

通过观察，可以得出每一个新的斐波拉契数是通过对数列中的前两个数相加得到的。如果两个变量f0和f1来存储前面的两个数，那么可以通过将f0和f1相加立即获得f2.现在，应该通过将f1赋给f0，将f2赋给f1来更新f0和f1。

4.改进后的程序如下：

public static log fib(long n){
	long f0=0;
	long f1=1;
	long f2 =1;

	if(n == 0)
		return f0;
	if(n == 1)
		return f1;
	if(n == 2)
		return f2;

	for(int i =3;i < n; i++){
		f0 = f1;
		f1 = f2;
		f2 = f0+f1;
	}
	return f2;
}

显然，算法的复杂度是，比之前的算法效率提高了不少。