欧拉计划 问题24 字典序排列

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欧拉计划24

题目描述

排列指的是将一组物体进行有顺序的放置。例如，3412是数字1、2、3、4的一个排列。如果把所有排列按照数字大小或字母先后进行排序，我们称之为字典序排列。0、1、2的字典序排列是：012 021 102 120 201 210 。
数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的字典序排列中第一百万位的排列是。

思路

当排第i位时，后面还10-i位可以排，有全排列（10-i）！种情况，再乘比这个数小的个数 就是之前排过的个数
举个栗子：
1 2 3 4的情况

3412：

排第一位3时，后面还有（4-1）个空，共3！=6种情况，比3小的数有1 2 其中未使用的数有1 2两个，那么在排第一位前有2×3！=12个数
排第二位4时，后面还有（4-2）个空，共2！=2种情况，比4小的数有1 2 3 其中未使用的有1 2两个，那么在排第二位前有2×3！+2×2！=16个数
排第三位1时，后面还有（4-3）个空，共1！=1种情况，比1小且未使用的数有0个，那么在排第三位前有2×3！+2×2！+0×1！=16个数
排第四位2时，后面还有（4-4）个空，共0！=1种情况，比2小的数有1，其中未使用的数有0个，那么在排第四位前有2×3！+2×2！+0×1！+0×0！=16个数
所以3412是第17个数。

推广一下，第n个数前面有n-1个数，那么每位abcdefghij满足的条件就是a×（10-1）！+b×（10-2）！+……+j（10-10）！=n-1，以此为思路，只需要从大到小来遍历每个数即可，由于唯一性且存在阶乘的关系，不可能存在重复的数，因此不需要额外条件

AC代码

from decimal import *
from math import *
from numpy import *

a,i,b,s=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0],9,[],0   #    a数组用来标记0-9这10个数字，避免重复，1代表使用
	                                   #    i是位数，0-9一共可以排10个位，每排一个位i就减1
	                                   #    b数组用来存储这个数的每一位
                                       #    s代表在这个数之前有多少个数，第1e6个数，前面就有1e6-1个数
while(i>=0):                           #    排第一位时，后面有9位剩余
    j=9                                #    从9到0进行遍历
    while(j>=0):             
        geshu=0                 
        for k in range(j):             #    计算在j前有多少个未使用且比j小的数的个数
            if a[k]==0:geshu+=1
        if s+geshu*factorial(i)>1e6-1: #    不满足条件就减1继续循环，否则跳出该循环
            j-=1
        else:break
    while(j>=0):	                   #    这时候还不一定确定这位，有可能是用过了，用a数组检验一下是否用过
        if a[j]==0 :break
        else :j-=1
    geshu=0                            #    此时比j小的个数需要重新计算
    
    for k in range(j):
        if a[k]==0:geshu+=1
    s+=geshu*factorial(i)              #    在排完第10-i位后此时之前有几个数
    a[j]=1                             #    将这个数标记为用过
    b.append(j)                        #    在b数组后添加该数
    i-=1                               #    排下一位
if s==1e6-1:print(b)                   #    验证一下s是不是真的是1e6-1