概率与期望New Year and Arbitrary Arrangement

New Year and Arbitrary Arrangement

链接：登录—专业IT笔试面试备考平台_牛客网
来源：牛客网

题目描述

给定三个整数 k,pa,pbk,p_a ,p_bk,pa​,pb​ 以及一个空的序列。

每一次填充操作，会有 papa+pb\frac{p_a}{p_a+p_b}pa​+pb​pa​​的概率在序列末尾添加字符 'a'（不含引号），反之，有 pbpa+pb\frac{p_b}{p_a+p_b}pa​+pb​pb​​ 的概率在序列末尾添加字符 'b' （不含引号）。填充操作会一直执行直到序列中出现至少 kkk 个形如 "ab" 的子序列。

求填充操作结束时形如 "ab" 的子序列的期望出现次数，并对 109+710^9+7109+7 取模。

输入描述:

第一行包含三个整数 k,pa,pb(1≤k≤1000,1≤pa,pb≤1000000)k,p_a,p_b(1\leq k\leq 1000,1\leq p_a,p_b\leq 1000000)k,pa​,pb​(1≤k≤1000,1≤pa​,pb​≤1000000)。

输出描述:

输出一个整数，代表取模后的期望次数。

示例1

输入

复制1 1 1

1 1 1

输出

复制2

2

说明

第一个样例中，我们会不断添加字符知道子序列 "ab" 至少出现了一次。例如，我们有 1/4 的概率得到序列 "ab"，有 1/16 的概率得到序列 "bbab"，以及由 1/8 的概率得到序列 "aab"。注意，我们不可能得到序列 "aabab" ，因为当我们得到前缀 "aab" 时就会立即停止操作。

所有合法序列中，子序列 "ab" 的期望出现次数是 2。

示例2

输入

3 1 4

输出

370000006

说明

第二个样例中，未取模的答案是 341100\frac{341}{100}100341​。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define endl '\n'
const ll mod = 1e9 + 7;
const int N = 1001;
int x, y;
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1;
		y = 0;
		return;
	}
	exgcd(b, a % b, x, y);
	int t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return;
}//用扩展欧几里得求逆元
ll inv(int a, int b)
{
	exgcd(a, b, x, y);
	return (x % b + b) % b;
}

ll k, a, b, pab, pa, pb;
ll dp[N][N];
int main()
{
	cin >> k >> a >> b;
	pab = a + b;
	pa = a * inv(pab, mod) % mod;
	pb = b * inv(pab, mod) % mod;
	for (int i = k - 1; i >= 0; i--)
	{
		for (int j = k; j >= 1; j--)
		{
			if (i + j >= k)
			{
				dp[i][j] = ((i + j) % mod + pa * inv(pb, mod) % mod) % mod;
			}
			else
			{
				dp[i][j] = (pb*dp[i+j][j]%mod + pa*dp[i][j+1]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	dp[0][0]=dp[0][1]%mod;
	cout<<dp[0][0];
}