B1030. 完美数列

给定一个正整数数列,和正整数p,设这个数列中的最大值是M,最小值是m,如果M <= m * p,则称这个数列是完美数列。

现在给定参数p和一些正整数,请你从中选择尽可能多的数构成一个完美数列。

输入格式:

输入第一行给出两个正整数N和p,其中N(<= 105)是输入的正整数的个数,p(<= 109)是给定的参数。第二行给出N个正整数,每个数不超过109。

输出格式:

在一行中输出最多可以选择多少个数可以用它们组成一个完美数列。

输入样例:
10 8
2 3 20 4 5 1 6 7 8 9
输出样例:
8

解法一,二分法:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int n, p, a[maxn];

int binarySearch(int i, long long x) {
    if (a[n - 1] <= x) {
        return n;
    }
    int l = i - 1, r = n - 1, mid;
    while (l < r) {
        mid = (l + r) / 2;
        if (a[mid] < x) {
            l = mid + 1;
        } else {
            r = mid;
        }
    }
    return l;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &p);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    sort(a, a + n);
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int j = binarySearch(i, (long long) a[i] * p);
        ans = max(ans, j - i);
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

解法二,two pointers

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 100010;
int a[maxn];

int main() {
    int n, p;
    int i = 0, j = 0, count = 1;
    scanf("%d%d", &n, &p);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    sort(a, a + n);
    while (i < n && j < n) {
        while (j < n && a[j] <= (long long)a[i] * p) {
            count = max(count, j - i + 1);
            j++;
        }
        i++;
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}
这是一个经典的区间选择问题,可以通过排序和滑动窗口的思想解决。以下是解决问题的基本思路以及C语言代码示例: --- ### **解题思路** 1. 将所有输入的正整数按升序排列。 2. 使用双指针法(即滑动窗口),维护一个满足条件的最大长度区间的左右边界 `left` 和 `right`: - 如果当前右端点元素(数组中最大值)除以左端点元素(数组中最小值)小于等于 `p`,则该区间是一个合法的“完美数列”。 - 否则移动左指针缩小范围,直到再次找到符合条件的区间为止。 3. 遍历过程中记录并更新最长的合法区间。 --- ### **C语言代码实现** ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 比较函数用于qsort排序 int compare(const void *a, const void *b) { return (*(int *)a - *(int *)b); } int maxPerfectSequence(int arr[], int n, int p) { if (n == 0) return 0; // 排序数组 qsort(arr, n, sizeof(int), compare); int left = 0; int maxLength = 1; // 至少有一个数字 for (int right = 0; right < n; ++right) { while (arr[right] > arr[left] * p) { // 移动左指针直至满足条件 left++; } maxLength = (right - left + 1 > maxLength) ? (right - left + 1) : maxLength; } return maxLength; } int main() { int n, p; printf("请输入正整数的数量 n 和参数 p: "); scanf("%d %d", &n, &p); int* arr = (int*)malloc(n * sizeof(int)); printf("请输入 %d 个正整数:\n", n); for (int i = 0; i < n; ++i) { scanf("%d", &arr[i]); } int result = maxPerfectSequence(arr, n, p); printf("能够组成的最长完美数列的长度为:%d\n", result); free(arr); // 释放内存 return 0; } ``` --- ### **运行例子** #### 输入: ``` 请输入正整数的数量 n 和参数 p: 6 2 请输入 6 个正整数: 5 7 9 4 8 6 ``` #### 输出: ``` 能够组成的最长完美数列的长度为:4 ``` **解释**: 数组 `[4, 5, 6, 8]` 的最大值为 `8`,最小值为 `4`,且 `8 / 4 <= 2`,所以它是最长的一个完美序列。 --- ### **复杂度分析** - 时间复杂度:O(n log n),主要是因为需要对数组进行排序。 - 空间复杂度:O(1),只用了常量级别的额外空间(忽略输入存储的空间开销)。 ---
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