拓展欧几里得算法

本文详细介绍了拓展欧几里得算法的基本原理及其在求解二元一次方程和求逆元中的应用。通过逐步推导展示了如何将方程ax+by=c转化为求解x,y的过程,并给出了具体的代码实现。

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拓展欧几里得算法其实就是解一个二元一次方程,ax+by=c, 求解x, y;
ax+by=c;
ax+by=gcd(a,b);
把上面那个方程转化为解下面的那个方程;
当然只有c%(gcd(a,b))==0,方程ax+by=c 才有解;
我们又知道gcd(a,b)==gcd(b,a%b);
设未知数x1,y1:
则有:ax+by=bx1+(a%b)y1;
又因为:a%b=a-(a/b)*b;
所以: ax+by=bx1+[ a-(a/b)*b]y1;
经过移项有:ax+by=ay1+b(x1-( a/b)*b);
因此可以解出原方程的解为:x=y1, y=x1-(a/b)*b;

模板代码:
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    int x1,y1;
    exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;
    y=x1-(a/b)*y1;
}

拓展欧几里得算法求逆元,其实就是求解:(a/b)%mod的值;
( a/b )%mod=((a%mod)*_b)%mod;
而_b 叫做b%mod 的逆元;
解该方程就应该求解 b%mod 的逆元_b,逆元满足b*_b%mod==1;
因此求解_b,就可以转化为求解方程 bx+mody=1,采用拓展欧几里得算法解出x, x即为_b;

设 a/b=x,则a=b*x;
求解方程(a/b)%mod,就变为求解 x%mod;
n=a%mod=a-(a/mod)*mod=b *x-(a/mod) *mod;
上式相当于求解方程b *x-(a/mod) *mod=n;
b *x-mod *y=n;
利用拓展欧几里得算法可求出x;
则可以求出 ( a/b)%mod=x%mod;

#include <stdio.h>
#include<iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

const long long mod=9973;

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    long long x1,y1;
    exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;
    y=x1-(a/b)*y1;
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    long long n,b,x,y;
    for(int k=1;k<=t;k++)
    {
        cin>>n>>b;
        exgcd(b,mod,x,y);
        x=(x%mod+mod)%mod;
        x=n*x;
        long long ans=x%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
}
内容概要:文章详细介绍了电梯门禁(梯控)系统的硬件安装与接线要点。首先强调了梯控板与楼层按键对接的重要性,包括遵循一一对应原则以避免错层、越层问题,允许空层存在以适应实际需求。接着阐述了不同接线方式(COM、NO、NC端口的不同组合)对用户权限的影响,如单层权限用户刷卡直达指定楼层,多层权限用户在特定接线方式下的操作限制。硬件安装方面,强调了无源干触点设计原则以确保电气隔离,防止系统间干扰,以及读卡器接入时的规范要求。文章还介绍了梯控系统的技术原理,如身份验证机制(二维码/IC卡/人脸识别)、消防联动功能(紧急情况下释放所有楼层权限),并指出该系统适用于小区、写字楼等场景,支持机器人乘梯SDK扩展。最后,根据不同场景需求提出了适用的接线方式选择,如严格管控场景下选择4.3接线以实现精准权限控制,限制多层用户手动选层场景下选择4.1接线并配合软件权限设置。; 适合人群:从事电梯安装维护的技术人员、楼宇自动化工程师及相关领域的管理人员。; 使用场景及目标:①指导技术人员正确安装和接线梯控系统,确保系统安全稳定运行;②帮助管理人员了解不同接线方式对用户权限的影响,以便根据实际需求选择合适的配置方案;③提升楼宇安全管理和服务质量,特别是在小区、写字楼等场所的应用。; 其他说明:梯控系统的正确安装和接线不仅关系到系统的正常运作,更直接影响到用户的安全和使用体验。因此,在实际操作中务必严格按照规范执行,同时关注最新的技术发展和应用场景变化,以确保系统始终处于最佳状态。
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