拓展欧几里得算法详解-优快云博客

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本文详细介绍了拓展欧几里得算法的基本原理及其在求解二元一次方程和求逆元中的应用。通过逐步推导展示了如何将方程ax+by=c转化为求解x,y的过程，并给出了具体的代码实现。

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拓展欧几里得算法其实就是解一个二元一次方程，ax+by=c, 求解x, y;
ax+by=c;
ax+by=gcd(a,b);
把上面那个方程转化为解下面的那个方程；
当然只有c%(gcd(a,b))==0,方程ax+by=c 才有解；
我们又知道gcd(a,b)==gcd(b,a%b);
设未知数x1,y1：
则有：ax+by=bx1+(a%b)y1;
又因为：a%b=a-(a/b）*b；
所以： ax+by=bx1+[ a-(a/b)*b]y1;
经过移项有：ax+by=ay1+b(x1-( a/b)*b);
因此可以解出原方程的解为：x=y1, y=x1-(a/b)*b;

模板代码：
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    int x1,y1;
    exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;
    y=x1-(a/b)*y1;
}

拓展欧几里得算法求逆元，其实就是求解：（a/b）%mod的值;
( a/b )%mod=((a%mod)*_b)%mod;
而_b 叫做b%mod 的逆元；
解该方程就应该求解 b%mod 的逆元_b，逆元满足b*_b%mod==1；
因此求解_b,就可以转化为求解方程 bx+mody=1,采用拓展欧几里得算法解出x, x即为_b;

设 a/b=x，则a=b*x;
求解方程（a/b）%mod，就变为求解 x%mod;
n=a%mod=a-(a/mod)*mod=b *x-(a/mod) *mod;
上式相当于求解方程b *x-(a/mod) *mod=n;
b *x-mod *y=n;
利用拓展欧几里得算法可求出x；
则可以求出 ( a/b)%mod=x%mod;

#include <stdio.h>
#include<iostream>
#include <string.h>
using namespace std;

const long long mod=9973;

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    long long x1,y1;
    exgcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1;
    y=x1-(a/b)*y1;
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    long long n,b,x,y;
    for(int k=1;k<=t;k++)
    {
        cin>>n>>b;
        exgcd(b,mod,x,y);
        x=(x%mod+mod)%mod;
        x=n*x;
        long long ans=x%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
}