关于排列等式的两种解法

关于排列等式的两种解法

(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)*x+...+C(n,n)*x^n

这个是newton的定理。

假设x=1，得到

2^n=C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)

 

但是如果先将(1+x)^n微分,得到:

n*(1+x)^(n-1)=C(n,1)+...+n*C(n,n)*x^(n-1)

然后代入x=1：

Go

n*2^(n-1)=C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)

 

对于上面的这个等式，我们也可以直接求：

Go

C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n/1!+2*n*(n-1)/2!+3*n*(n-1)*(n-2)/3!+...+n*n*(n-1)...1/n!

Go

C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n/0!+n*(n-1)/1!+n*(n-1)*(n-2)/2!+...+n*(n-1)...1/(n-1)!

Go

提取公因子n

C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n*{ 1+(n-1)/1!+(n-1)*(n-2)/2!+...+(n-1)...1/(n-1)! }

Go

C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n*{ C(n-1,0)+C(n-1,1)+...+C(n-1,n-1)}

前面已经证明了：

2^n=C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)

Go

2^(n-1)=C(n-1,0)+C(n-1,1)+...+C(n-1,n-1)

代入得到：

Go

C(n,1)+2*C(n,2)+...+n*C(n,n)=n*2^(n-1)

这样就正面证明了这个等式。