欧拉工程第9题 找出唯一的满足a + b + c = 1000的毕达哥拉斯三元组{a, b, c}

本文探讨了一个特定的数学问题,即找到唯一满足条件a+b+c=1000的毕达哥拉斯三元组,并计算其乘积。通过设定合理的搜索范围和条件,使用Java程序实现了对该三元组的有效查找。

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题目

一个毕达哥拉斯三元组是一个包含三个自然数的集合,a<b<c,满足条件:

a2+b2=c2

例如:32+42=9+16=25=52
已知存在并且只存在一个毕达哥拉斯三元组满足条件a+b+c=1000
找出该三元组中abc的乘积。

解题方法

此题的关键就是a,b和c的取值上界,c可以由a和b确定,所以只要计算a和b的上界即可。
因为a<b<c,所以a<[10003][N]代表取整运算,对于正数来说,即舍去小数部分,如[1.66]=1,对于负数来说,取整运算是获得不大于N的最大整数,如[1.6]=2
又因为a<b<c,所以当a确定后,a<b<1000a2
c=1000ab

程序

public static void solve() {
    for (int a=1;a<333;a++) {
        for (int b=a+1;b<(1000-a)/2;b++){
            int c = 1000-a-b;
            if (a*a+b*b==c*c){
                System.out.println(a*b*c);
                break;
            }
        }
    }
}
<think>嗯,用户问的是如何化简cos(a+b)的三角函数公式。首先,我得回忆一下三角函数中的和角公式。cos(a+b)的展开式应该是cos a cos b减去sin a sin b。不过,可能需要确认一下是否正确,避免记错符号。 接下来,应该考虑用户的需求。他们可能是在学习三角函数,需要知道如何展开这个表达式,或者在做时需要用到这个公式进行化简。所以,回答时要明确写出公式,并给出具体的步骤,可能的话还要举例说明应用方法,这样用户更容易理解。 然后,按照用户的要求,回答要分点,避免使用步骤词汇,所以可能需要用不同的化简方法来组织内容,比如代数化简、几何证明、复数表示等。每个方法下详细说明,但要注意不要用“首先”、“然后”这样的词。 另外,用户提到如果有代码或公式,必须用正确的格式。这里涉及到数学公式,所以需要用行内或独立的LaTeX格式。例如,cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b,应该写成$cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$,注意使用反斜杠表示函数名,变量用斜体。 还要检查是否有必要调用网络搜索工具。虽然已知这个公式,但可能需要确认是否有其他化简方法或最新的教学资源。比如,是否有几何证明的方法,或者用欧拉公式推导的方式。这时候可能需要搜索一下是否有不同的证明方法,确保回答的全面性。 然后,整合这些信息,分点列出不同的化简方法。每个方法下给出步骤,比如代数法可能涉及利用已知的和角公式直接应用;几何法可能需要构造三角形或单位圆来证明;复数法可能用欧拉公式相乘后的实部提取。每个方法需要详细但简洁,确保用户能理解。 还要注意用户强调禁止引用集中在末尾,所以引用的内容需要自然融入回答中。例如,提到几何证明时,可以引用单位圆或向量的方法,但不需要在末尾列出参考文献。 最后,生成相关问。要考虑用户可能进一步的问,比如其他和角公式如sin(a+b),或者如何记忆这些公式,或者实际应用例子。相关问需要基于当前的问和回答内容,确保相关性和帮助用户深入理解。 总结一下,回答的结构应该是先给出公式,然后分方法详细说明,每个方法可能包括推导步骤或例子,最后列出相关问。需要严格遵守格式要求,特别是数学公式和代码的格式,以及相关问的标和编号方式。</think>根据三角函数和角公式,$cos(a + b)$的化简表达式为: $$cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$ 此公式可通过以下方法推导或应用: **代数化简法** 直接应用余弦和角公式展开表达式。例如化简$cos(75^\circ)$时,可拆分为$cos(45^\circ + 30^\circ)$: $$cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos45^\circ\cos30^\circ - \sin45^\circ\sin30^\circ$$ 代入具体数值$\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sin30^\circ = \frac{1}{2}$计算可得结果。 **几何证明法** 通过单位圆构造角度$a$和$b$,利用向量点积公式验证。设两个单位向量与x轴夹角分别为$a$和$-b$,其点积为$\cos(a + b)$,展开后与坐标分量计算式$\cos a \cos b - \sin a \sin b$相等。 **复数表示法** 用欧拉公式$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$推导: $$e^{i(a+b)} = e^{ia} \cdot e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)$$ 取实部可得$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$。 **编程验证示例** ```python import math a = math.radians(45) b = math.radians(30) left = math.cos(a + b) right = math.cos(a)*math.cos(b) - math.sin(a)*math.sin(b) print(f"{left:.4f} ≈ {right:.4f}") # 输出 0.2588 ≈ 0.2588 ```
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