数学系杀手（数学+找规律）（北理16校赛）-优快云博客

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本文介绍了一种通过观察和分析给定样例来猜测积分题解的方法。通过对积分表达式的分解，利用对称性和给定的数据点，推导出一个简洁的公式用于快速求解。该方法适用于特定形式的积分问题。

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题目描述：

”可恶，我们辛辛苦苦算出来的和他们猜出来的是一样的。“ —— 某数学系生

给定一个表达式如下，

$\iint_{D} \lbrace{sin(xy^2)+bye^x+c+\frac{d\psi(x)+e \psi (y)}{\psi(x) + \psi(y)}} \rbrace dxdy$

其中 $D:$ $x^2+y^2 \leq R^2$ , $\psi(x) = 2^x$ ， $\pi$ 取3.1415926，对于给定的 $b,c,d,e,R$ 求出表达式的值。

输入格式：

用例组数 $T$ ， $T \leq 100$ 。

对于每组用例，给定不超过1000的五个自然数 $b,c,d,e,R$ ，在一行用空格隔开。

输出格式：

对于每组用例，输出表达式的值，保留一位小数，每个答案占一行。

样例输入：

1 1 1 1 1

1 2 3 2 3

样例输出：

6.3

127.2

题目大意：

给出一个二重积分和其中的一些常数，求解这个积分式子的答案。

解题思路：

这道题重点在第一句话！！"可恶，我们辛辛苦苦算出来的和他们猜出来的是一样的"，说明这道题可猜，（如果会算的当然一眼瞪出来更好）那么如何猜？

首先根据积分的线性性质拆成4项，观察前两项都是关于x或y轴对称的奇函数，所以积分得0，第三项是常数，积分出来是pi*r*r，那么只需要看第四项，这一项也可以分离常数，得到一个min(d,e)+abs(d-e)*(phi(x)/(phi(x)+phi(y)))注意到积分区域有对称性，所以不管分子剩下的是d那一项还是e，都可以有如上表示。

我们发现未知的部分只有(phi(x)/(phi(x)+phi(y))，然而用例给了两个，我们可以通过用例把这个东西算出来！根据第二个用例，减去前几项的已知部分，剩下这部分的值为pi*9/2，而前面几项都是含r*r的，那么这未知的项有很大概率也是有r*r,所以变为abs(d-e)/2*pi*r*r

综上答案就是(c+min(d,e)+abs(d-e)/2)*pi*r*r

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define CLR0(a) (memset(a,0,sizeof(a)))
#define CLR1(a) (memset(a,-1,sizeof(a)))
#define CLRf(a) (memset(a,0x3f,sizeof(a)))
#define pi 3.1415926
const int maxn=0;
const int maxm=0;
double abss(int x)
{
	if(x>0)return x*1.0;
	return -x*1.0;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int b,c,d,e,r;
		scanf("%d%d%d%d%d",&b,&c,&d,&e,&r);
		printf("%.1lf\n",(c+min(d,e)+abss(d-e)/2)*r*r*pi);
	}
	return 0;
}