bnu 51644 Whalyzh's Problem（网络流，最大密度图）（北师16校赛）

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本文介绍了一个关于最大密度子图的问题及其解决方案。该问题要求在给定矩阵中找到由0和1组成的向量，使得选中的数的平均值最大。通过构建特定图模型并运用最大流算法求解。

很久以前，当whalyzh同学是一个萌新的时候，遇到了这么一个问题：

给定长为的序列，构造一个只有0和1的长为的序列，使得 $\sum_{i=0}^{n-1}{A[i] \times B[i]}$ 的值最大。

小Q同学想了一秒钟之后说：这不是一眼题么？然后whalyzh同学瞬间就会了。

过了几天，当whalyzh同学还是一个萌新的时候，遇到了这么一个问题：

给定阶方阵，构造一个只有0和1的 $1 \times n$ 的向量，使得 $ABA^T=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}{A[i] \times B[i][j] \times A[j]}$ 的值最大。

小Q同学想了一分钟之后说：这不是一眼题么？然后whalyzh同学瞬间就会了。

又过了几天，当whalyzh仍然是一个萌新的时候，遇到了这么一个问题：

给定阶方阵，构造一个只有0和1的 $1 \times n$ 的向量，使得 $(ABA^T-\sum_{i=0}^{n-1}{A[i] \times B[i][i])/\sum_{i=0}^{n-1}{A[i]}$ 的值最大。

小Q同学想了一小时之后说：不能总是问我，你得自己去思考。然后whalyzh同学瞬间就懵逼了。

即使到现在，whalyzh同学仍然百思不得其解，希望你能帮他解决这个问题。

请注意，在这个问题中，规定 0/0=0 。

Input

第一行是一个正整数 $T(\leq 50)$ ，表示测试数据的组数，

对于每组测试数据，

第一行是一个整数 $n(1 \leq n \leq 100)$ ，表示方阵的大小，

接下来行，每行个整数 $b[i][j](0 \leq b[i][j] \leq 10)$ ，表示方阵中的数。

Output

对于每组测试数据，输出所求的最大值，答案精确到小数点后五位。

Sample Input

Sample Output

3.50000

Hint

对于样例，令 A[0]=0,A[1]=1,A[2]=1 ，可取得最大值 7/2=3.50000 。

Source

第十四届北京师范大学程序设计竞赛决赛

Author

hwq1352249

题目大意：

给出一个矩阵B（元素小于等于10）和一个由01组成的向量A，能选择其中的B[i][j]当且仅当A[i]=A[j]=1且i!=j，给定B通过A中把一些数置为1来选择B中的数使得B中数的和比上A中1的个数最大。

解题思路：

原问题等价于给定一个n个顶点的图，每两点之间有一条边，边权为1到10，然后从中选出一些点，使的这些点的诱导子图的边权和/点数尽可能大，这是一个最大密度子图问题。

感谢chitanda的代码~

#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 100
const double eps = 1e-8;
const double inf = 1e+8;
struct Edge { int v; double w; Edge *x; } *e, *lnk[N * N + 9], E[12 * N * N + 9];
int TT, S, T, n, m, b[N + 9][N + 9];
int g[N * N + 9], h[N * N + 9];

int dcmp(double x) {
	return (x > +eps) - (x < -eps);
}

void add(int u, int v, double w) {
	e->v = v, e->w = w, e->x = lnk[u], lnk[u] = e++;
	e->v = u, e->w = 0, e->x = lnk[v], lnk[v] = e++;
}

double sap(int u, double flw) {
	if (u == T) return flw;
	double det, sum = .0;
	for (Edge *p = lnk[u]; p; p = p->x)
		if (h[u] == h[p->v] + 1 && dcmp(p->w)) {
			det = sap(p->v, min(p->w, flw - sum));
			p->w -= det;
			E[(p - E) ^ 1].w += det;
			if (dcmp((sum += det) - flw) == 0) return sum;
		}
	if (h[S] >= m) return sum;
	if (--g[h[u]] == 0) h[S] = m;
	++g[++h[u]];
	return sum;
}

bool check(double x) {
	m = n + n * (n - 1) / 2;
	S = ++m, T = ++m;

	e = E;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) lnk[i] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) add(i, T, x);

	int cnt = n;
	double sum = .0;
	for (int i = 1; i < n; ++i)
		for (int j = i + 1; j <= n; ++j) {
			++cnt;
			if (b[i][j]) {
				sum += b[i][j];
				add(S, cnt, b[i][j]);
			}
			add(cnt, i, inf);
			add(cnt, j, inf);
		}
	g[0] = m;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) g[i] = h[i] = 0;
	while (h[S] < m) sum -= sap(S, inf);
	return sum > eps;
}

int main() {
	scanf("%d", &TT);
	while (TT--) {
		scanf("%d", &n);
		memset(b, 0, sizeof b);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			for (int j = 1; j <= n; ++j) 
			{
				int x;
				scanf("%d", &x);
				if (i < j) b[i][j] += x;
				if (i > j) b[j][i] += x;
			}
		double l = 0, r = 1000, m;
		while (fabs(r - l) > eps) 
		{
			m = (l + r) / 2;
			if (check(m)) l = m;
			else r = m;
		}
		printf("%.5f\n", l);
	}
	return 0;
}