梭哈图算法——图（Graph）知识点概览-优快云博客

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梭哈图算法——图（Graph）知识点概览

我们在熟悉数组，链表，树，哈希表等基本的数据结构之后，就可以准备聊聊图了。

图是这样的一个数据结构，它由若干个点和描述这些点之间如何连接的线组成。

图（Graph）是一种由**顶点（Vertex）和边（Edge）**组成的数据结构，用于表示实体之间的各种关系。在计算机科学与日常生活中，图被广泛用于：社交网络、网络路由、推荐系统、任务调度等场景。

这也就是说，他的使用是非常广泛的，上到评估交通状况，下到我们的网络路由和好友推介，基本上都是依赖图这个数据结构进行工作的。

几个最基本的概念

顶点（Vertex/Node）：图中的基本元素，用来表示实体或对象。
边（Edge）：连接两个顶点的关系，分为有向边和无向边。
- 无向图：边没有方向， $(u, v)$ 与 $(v, u)$ 等价。
- 有向图：边具有方向， $\rightarrow v$ 与 $\rightarrow u$ 为不同的关系。
权重（Weight）：边上的值，用于表示距离、成本、容量等。
邻接（Adjacency）：两个顶点之间是否存在边的关系。

如何表达一个图

邻接矩阵（Adjacency Matrix）

const int MAXN = 100;
int adj[MAXN][MAXN]; // adj[i][j] = 权重, 无边时可设为 INF 或 0

时间复杂度：查询两点是否相邻 $O (1)$
空间复杂度： $O(V^2)$ ，适用于稠密图。

邻接表（Adjacency List）

struct Edge { int to, weight; };
vector<Edge> adj[MAXN];
// 添加无向边：
adj[u].push_back({v, w});
adj[v].push_back({u, w});

时间复杂度：遍历所有边 $O (V + E)$
空间复杂度： $O (V + E)$ ，适用于稀疏图。

图的遍历：深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）

一、深度优先搜索（DFS）

1. 原理与流程

DFS（Depth-First Search）采用“深入优先”策略：

从起始顶点 u 出发，标记为已访问。
对于 u 的每一个未访问邻居 v：
- 递归或使用栈进入 v，继续执行相同操作。
当 u 所有邻居都已访问后，回溯到上一个节点，继续处理其他分支。

这种策略下，路径会沿着一条分支一直深入，直到无法继续，再回退。

2. 递归实现示例（C++）

// 深度优先搜索（递归版）
// adj: 图的邻接表，visited: 访问标记
void dfs(int u, const vector<vector<int>>& adj, vector<bool>& visited) {
    visited[u] = true;                     // 标记节点 u 已访问
    // 在此处处理 u，例如打印节点编号
    cout << "Visiting node " << u << endl;

    // 遍历 u 的所有邻居
    for (int v : adj[u]) {
        if (!visited[v]) {                 // 如果邻居 v 未被访问
            dfs(v, adj, visited);         // 递归访问 v
        }
    }
}

// 入口：遍历所有连通分量
void dfsAll(const vector<vector<int>>& adj) {
    int V = adj.size();
    vector<bool> visited(V, false);
    for (int i = 0; i < V; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(i, adj, visited);         // 对每个未访问节点启动一次 DFS
        }
    }
}

时间复杂度: 每条边和顶点各访问一次，。
空间复杂度: 递归栈最坏深度为 O(V)，再加上访问标记 O(V)。

二、广度优先搜索（BFS）

1. 原理与流程

BFS（Breadth-First Search）采用“广度优先”策略：

初始化队列 Q，将起始顶点 s 入队并标记为已访问。
当 Q 不为空：
- 弹出队首顶点 u。
- 处理 u（如打印或记录距离）。
- 对于 u 的每个未访问邻居 v：
  - 标记 v 为已访问，并将其入队 Q。
重复直到 Q 为空。

这种策略保证按层次顺序访问节点，适合求解无权图的最短路径。

2. 队列实现示例（C++）

// 广度优先搜索
// adj: 图的邻接表，visited: 访问标记
void bfs(int s, const vector<vector<int>>& adj, vector<bool>& visited) {
    queue<int> Q;
    visited[s] = true;                    // 标记起始节点已访问
    Q.push(s);                            // 起始节点入队

    while (!Q.empty()) {
        int u = Q.front(); Q.pop();      // 取出队首
        // 在此处处理 u，例如输出节点及其距离
        cout << "Visiting node " << u << endl;

        // 遍历 u 的所有邻居
        for (int v : adj[u]) {
            if (!visited[v]) {            // 如果邻居 v 未访问
                visited[v] = true;       // 标记为已访问
                Q.push(v);               // 将 v 入队，后续处理
            }
        }
    }
}

// 入口：遍历所有连通分量，并可记录从源点的最短距离
void bfsAll(const vector<vector<int>>& adj) {
    int V = adj.size();
    vector<bool> visited(V, false);
    for (int i = 0; i < V; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            bfs(i, adj, visited);
        }
    }
}

时间复杂度: 访问所有顶点和边，。
空间复杂度: 队列最坏情况存储 O(V) + 访问标记 O(V)。

一个表看看：

特性	DFS	BFS
数据结构	递归或栈	队列
访问顺序	深入一条路径至尽头，再回溯	按“层”逐层往外扩展
最短路径保证	不保证（除边权相等情况）	保证（无权图）
典型应用	环检测、连通分量、拓扑排序	最短路径、层次遍历、二分图判定
递归栈/队列开销	最坏 O(V)	最坏 O(V)