Leetcode -- Container With Most Water-优快云博客

问题链接：https://oj.leetcode.com/problems/container-with-most-water/

问题描述：

Given n non-negative integers a1, a2, ..., an, where each represents a point at coordinate (i, ai). n vertical lines are drawn such that the two endpoints of line i is at (i, ai) and (i, 0). Find two lines, which together with x-axis forms a container, such that the container contains the most water.

Note: You may not slant the container.

API：public int maxArea(int[] height)

问题分析：这一题其实和排序过的Two sum是有相似的地方的，本质上都是dp和贪心算法的体现，但却也有不同之处。

最简单的想法当然就是brute force遍历全部的情况，时间是O(n^2)，两层for循环即可。但是这肯定不是最优算法。

下面来分析一下，因为水池的容量是由长度，以及左右之间的短板所决定的。所以根据贪心算法的定义，首先给出两个指针，head = 0, tail = height.length - 1，然后头尾往中间缩。然后替换掉更短的那个板，也就是if(height[head] < height[tail]) head++，反之tail--。根据这个算法，给出代码如下：

    public int maxArea(int[] height) {
        int head = 0, tail = height.length - 1, res = 0;
        while(head < tail){
            res = Math.max(res, (tail - head) * Math.min(height[head], height[tail]));
            if(height[head] < height[tail])
                head++;
            else
                tail--;
        }
        return res;
    }

关于贪心法，最复杂的并不是算法本身，而是算法适用性的证明，贪心算法比较好用以证明的方式是数学归纳或者反证法，下面给出反证法的说明：

首先给出证明来源，因为我思考了很久但并没有思考出证明的方法.......

https://oj.leetcode.com/discuss/1074/anyone-who-has-a-o-n-algorithm

下面，基于上面的连接，我给出自己的理解好了：

假设存在比我们给出的解更优的解，left_b和right_b，那么根据我们的解法，我们必然会首先到达left_b和right_b的其中一个，假设head先到达left_b好了（反之也一样的，不影响证明的过程），那么我们的tail指针此时还没有到达right_b，接下来根据我们的算法必然会出现两种情形的其中一种

1.tail一路向北，头也不回的就准备和我们的head汇合了。但此时肯定经过了right_b，如果left_b和right_b是更优解，那么必然也会被我们的算法找到。但事实上我们假定了这个解是更优的，所以矛盾了。

2. 在我们的算法里，tail到了某个点，假设是right_c，right_c > right_b，head就离开了我们的最优解left_b，这种情况是唯一有可能我们算法会错过最优解的合理解释。但这种方式也是行不通的，理由如下，首先，不用质疑，right_c - left_b 》 right_b - left_b，所以在长度上占优，而且我们还可以看到min(heights[left_b], heights[right_b]) <= min(heights[left_b], heights[right_c])。理由有点绕，但事实上是这样的：

首先head会离开left_b，是因为height[left_b] < height[right_c] 不满足而诞生的，所以min(heights[left_b], heights[right_c]) = heights[left_b]

而事实上，heights[right_b]此时就没有任何意义了，即使heights[right_b]为任意值，短板min(height[left_b], heights[right_b])也只能小于等于heights[left_b]

因此，left_b和right_b也不可能是最优解，和假设矛盾。

至此，贪心法便得证了。