算法入门经典第二版第10章uva1635

最新推荐文章于 2023-07-15 17:25:13 发布

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#算法入门经典 #组合数

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本文介绍了一种解决特定组合数学问题的方法，即求解一系列数列操作后的最终值除以某个数m的余数，并找出该余数与哪些初始数无关。通过分解m的素因子并使用组合数的递推公式，可以有效地确定哪些位置的数不影响最终结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

对于给定的n个数a 1 , a 2 ,…, a n ，依次求出相邻两数之和，将得到一个新数列。重复上述

操作，最后结果将变成一个数。问这个数除以m的余数与哪些数无关？例如n=3，m=2时，第
一次求和得到a 1 +a 2 ，a 2 +a 3 ，再求和得到a 1 +2a 2 +a 3 ，它除以2的余数和a 2 无关。

1≤n≤1e5 ，2≤m≤1e9 。

自己手动模拟几下可以看出和杨辉三角有关。

C（k,n）直接计算太大

通过唯一分解定理，先求出m的所有素因子对应的幂

利用公式

C(k, n) = (n - k + 1)/k * C(k-1,n)

递推，并且求出每一个k对应的素因子的幂，如果有一个素数，素因子对应的幂小于m对应素因子幂，则说明不会是m的倍数，标记一下即可。

说的不清楚，还是要仔细阅读源码。

tip：通过本题，可以总结出判断一个数是否能整除m，可以利用唯一分解定理，通过素数的幂来判断。

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 100000 + 5;
int bad[maxn];

void prime_factors(int n,vector<int>& primes){
    int m = floor(sqrt(n) + 0.5);// 精度问题
    for(int i=2;i<=m;i++){
        if(n % i == 0){
            primes.push_back(i);
            while(n % i == 0) n/=i;
        }
    }
    if(n > 1) primes.push_back(n); // n本身就是一个素数
}
int main(){
    int n,m,kase = 0;
    while(cin>>n>>m){
        vector<int> primes;
        prime_factors(m,primes);
        memset(bad,0,sizeof(bad));
        n--; //从C(nm)是从0开始的，所以n--
        for(int i=0;i<primes.size();i++){
            int p = primes[i], e = 0;
            int min_e = 0, x = m;
            while(x % p == 0){x /=p; min_e++;}
            // c (n,k) = c(n, k-1) * (n-k+1)/k;
            //利用这个递推关系,递推 e;
            for(int k=1;k<n;k++){
                x = n - k +1;
                while(x % p == 0) {x/=p; e++;}
                x = k;
                while(x % p == 0){x /=p; e--;}
                if(e < min_e) bad[k] = 1;
            }
        }
        vector<int>ans;
        for(int k=1;k<n;k++){
            if(!bad[k]) ans.push_back(k+1); //编号从1开始
        }
        cout<<ans.size()<<endl;
        if(!ans.empty()){
            cout<<ans[0];
            for(int i=1;i<ans.size();i++)
                cout<<" "<<ans[i];

        }
        cout<<endl;

    }

    return 0;
}