主成分分析PCA

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

1. PCA的思想

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是$n$维的，共有$m$个数据$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$。我们希望将这$m$个数据的维度从$n$维降到$n^{\prime }$维，希望这$m$个$n^{\prime }$维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从$n$维降到$n^{\prime }$维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这$n^{\prime }$维的数据尽可能表示原来的数据呢？

我们先看看最简单的情况，也就是$n=2，n^{\prime }=1$,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，$u_1$和$u_2$，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，$u_1$比$u_2$好。

为什么$u_1$比$u_2$好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

假如我们把$n^{\prime }$从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

2. PCA的推导:基于最小投影距离

我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。
假设$m$个$n$维数据 $\left(x^{(1)},x^{(2)},\dots ,x^{(m)}\right)$ 都已经进行了中心化 $,$ 即 ${\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}=0.$ 经过投影变换后得到的新坐标系为 { w 1 , w 2 , … , w n } , \left\{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\right\}, {w1​,w2​,…,wn​}, 其中 $w$ 是标 准正交基, 即 ||$w|{|}_2=1,w_i^T{w}_j=0$
如果我们将数据从$n$维降到$n^{\prime }$维，即丟弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为 { w 1 , w 2 , … , w n ′ } \left\{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n^{\prime}}\right\} {w1​,w2​,…,wn′​},样本点 $x^{(i)}$ 在$n^{\prime }$维坐标系中的投影为 $z^{(i)}={\left(z_1^{(i)},z_2^{(i)},\dots ,z_{n^{\prime }}^{(i)}\right)}^T$.其中 $,z_j^{(i)}=w_j^T{x}^{(i)}$ 是 $x^{(i)}$ 在低维坐标系里第维的坐标。
如果我们用 $z^{(i)}$ 来恢复原始数据 $x^{(i)}$,则得到的恢复数据 ${\bar{x}}^{(i)}={\sum }_{j=1}^{n^{\prime }}{z}_j^{(i)}{w}_j=W{z}^{(i)},$ 其中 $,$ W为标准正交基组成的矩阵。
现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：
$$\sum _{i=1}^m{\Vert {\bar{x}}^{(i)}-x^{(i)}\Vert }_2^2$$

将这个式子进行整理，可以得到:
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^m{\Vert {\bar{x}}^{(i)}-x^{(i)}\Vert }_2^2& =\sum _{i=1}^m{\Vert W{z}^{(i)}-x^{(i)}\Vert }_2^2\\ & =\sum _{i=1}^m{\left(W{z}^{(i)}\right)}^T\left(W{z}^{(i)}\right)-2\sum _{i=1}^m{\left(W{z}^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\\ & =\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}-2\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{W}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\\ & =\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}-2\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\\ & =-\sum _{i=1}^m{z}^{(i)T}{z}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\\ & =-\mathrm{tr}\left(W^T\left(\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T}\right)W\right)+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\\ & =-\mathrm{tr}\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)+\sum _{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}\end{array}$$

其中第 ( 1 ) 步用到了 ${\bar{x}}^{(i)}=W{z}^{(i)}$, 第二步用到了平方和展开 $,$ 第 (3) 步用到了矩阵转置公式 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ 和 $W^{T}W=I,$ 第 (4) 步用到了 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)},$ 第 (5) 步合并同类项 $,$ 第 (6) 步用到了 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$ 和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。
注意到 ${\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T}$ 是数据集的协方差矩阵 $,$ W的每一个向量 $w_j$ 是标准正交基。而 ${\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)T}{x}^{(i)}$ 是一个常量。最小化上式等价于 :
$$\underset{W}{\underbrace{\arg \min }}-\mathrm{tr}\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)\text{ s.t. }{W}^{T}W=I$$
这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵 $X{X}^T$ 最大的n’个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格
朗日函数可以得到
$$J(W)=-\mathrm{tr}\left(W^{T}X{X}^{T}W+\lambda \left(W^{T}W-I\right)\right)$$
对$W$求导有 $-X{X}^{T}W+\lambda W=0,$ 整理下即为 :
$$X{X}^{T}W=\lambda W$$
这样可以更清楚的看出，$W$为 $X{X}^T$ 的n’个特征向量组成的矩阵，而 $\lambda$ 为 $X{X}^T$ 的若干特征值组成的矩阵，特征值在主对角线上，其余位置为0。当我们 将数据集从$n$维降到$n^{\prime }$维时，需要找到最大的$n^{\prime }$个特征值对应的特征向量。这$n^{\prime }$个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)},$ 就可以把原始数据集降维到最小投影距离的$n^{\prime }$维数据集。

如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。

3. PCA的推导:基于最大投影方差

现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。
假设m个n维数据 $\left(x^{(1)},x^{(2)},\dots ,x^{(m)}\right)$ 都已经进行了中心化 $,$ 即 ${\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}=0.$ 经过投影变换后得到的新坐标系为 { w 1 , w 2 , … , w n } , \left\{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\right\}, {w1​,w2​,…,wn​}, 其中 $w$ 是标准正交 基 $,$ 即 $\Vert w{\Vert }_2=1,w_i^T{w}_j=0$ 。
如果我们将数据从n维降到n’维，即丟弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为 { w 1 , w 2 , … , w n ′ } , \left\{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n^{\prime}}\right\}, {w1​,w2​,…,wn′​}, 样本点 $x^{(i)}$ 在n’维坐标系中的投影为 :
$z^{(i)}={\left(z_1^{(i)},z_2^{(i)},\dots ,z_{n^{\prime }}^{(i)}\right)}^T$.其中， $z_j^{(i)}=w_j^T{x}^{(i)}$ 是 $x^{(i)}$ 在低维坐标系里第j维的坐标。
对于任意一个样本 $x^{(i)},$ 在新的坐标系中的投影为 $W^T{x}^{(i)},$ 在新坐标系中的投影方差为 $x^{(i)T}W{W}^T{x}^{(i)},$ 要使所有的样本的投影方差和最大，也就是 最大化 ${\sum }_{i=1}^m{W}^T{x}^{(i)}{x}^{(i)T}W$ 的迹,即 $：$
$$\underset{W}{\underbrace{\arg \max }}\mathrm{tr}\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)\text{ s.t. }{W}^{T}W=I$$
观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。
利用拉格朗日函数可以得到
$$J(W)=\mathrm{tr}\left(W^{T}X{X}^{T}W+\lambda \left(W^{T}W-I\right)\right)$$
对W求导有 $X{X}^{T}W+\lambda W=0,$ 整理下即为 :
$$X{X}^{T}W=(-\lambda )W$$
和上面一样可以看出，W为 $X{X}^T$ 的n’个特征向量组成的矩阵 , 而一 $\lambda$ 为 $X{X}^T$ 的若干特征值组成的矩阵 $,$ 特征值在主对角线上 , 其余位置为0。当我们
将数据集从n维降到n’维时，需要找到最大的n’个特征值对应的特征向量。这n’个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)},$ 就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n’维数据集。

4. PCA算法流程

从上面两节我们可以看出，求样本 $x^{(i)}$ 的n’维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵 $X{X}^T$ 的前n’个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本 $x^{(i)},$ 做如下变换 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)},$ 即达到降维的PCA目的。

下面我们看看具体的算法流程。
输入 $：n$ 维样本集 $D=\left(x^{(1)},x^{(2)},\dots ,x^{(m)}\right),$ 要降维到的维数n’.
输出 : 降维后的样本集 $D^{\prime }$

• 1 ) 对所有的样本进行中心化 $：x^{(i)}=x^{(i)}-\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^m{x}^{(j)}$
• 2 ) 计算样本的协方差矩阵 $X{X}^T$
• 3 ) 对矩阵 $X{X}^T$ 进行特征值分解
• 4 ) 取出最大的$n^{\prime }$个特征值对应的特征向量 $\left(w_1,w_2,\dots ,w_{n^{\prime }}\right),$ 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。
• 5 ) 对样本集中的每一个样本 $x^{(i)}$, 转化为新的样本 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$
• 6 ) 得到输出样本集 $D^{\prime }=\left(z^{(1)},z^{(2)},\dots ,z^{(m)}\right)$

有时候，我们不指定降维后的n’的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重间值t。这个问值t在 ( 0,1$]$ 之间。假如我们的n个特征值为 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \dots \ge {\lambda }_n$, 则n’可以通过下式得到:
$$\frac{{\sum }_{i=1}^{n^{\prime }}{\lambda }_i}{{\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i}\ge t$$

5. PCA实例

下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。

假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。

首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值向量后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：
$$\mathbf{X}{\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{ll}\mathrm{cov}\left(x_1,x_1\right)& \mathrm{cov}\left(x_1,x_2\right)\\ \mathrm{cov}\left(x_2,x_1\right)& \mathrm{cov}\left(x_2,x_2\right)\end{array}\right)$$
对于我们的数据，求出协方差矩阵为：
$${\mathbf{X}\mathbf{X}}^{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{ll}0.616555556& 0.615444444\\ 0.615444444& 0.716555556\end{array}\right)$$

求出特征值为（0.0490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：$(0.735178656,0.677873399{)}^T(-0.677873399,-0.735178656{)}^T$,由于最大的$k=1$个特征值为1.28402771，对于的$k=1$个特征向量为$(-0.677873399,-0.735178656{)}^T$. 则我们的$W=(-0.677873399,-0.735178656{)}^T$

我们对所有的数据集进行投影$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

6. 核主成分分析KPCA介绍

在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n’, 这里的维度之间满足n’<n<N。

使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射$\varphi$产生。

则对于n维空间的特征分解：
$$\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T}W=\lambda W\end{array}$$映射为：
$$\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^m\varphi \left(x^{(i)}\right)\varphi {\left(x^{(i)}\right)}^{T}W=\lambda W\end{array}$$

通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射ϕ不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。

7. PCA算法总结

这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

PCA算法的主要优点有：

1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。

2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

PCA算法的主要缺点有：

1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

参考：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6239403.html#!comments