Python数值计算（17）——Hermite插值

原创 已于 2024-08-22 22:44:06 修改 · 1.7k 阅读 · 12 ·
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#算法 #numpy #python

于 2024-08-03 13:51:22 首次发布

这次介绍一下使用差商表构造Hermite多项式的方法。

前面介绍到了两种很经典的插值多项式，即Lagrange和Newton插值多项式，并在前一篇中阐述了如何通过Lagrange插值方式构造Hermite多项式，这次通过牛顿差商法构造Hermite多项式。

1. 数学原理

以三个点(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))为例，以及在这3个点处的导数值f'(x_0),f'(x_1),f'(x_2)，构造差商表如下：

可以看到，差商表的第一列是x坐标值，并且写了两次，第二列则是对应的函数值，也是写了两次，到第三列为一阶差商时（导数值），对于已知点处导数，直接用现有的导数值，而对于没有现成的导数值，则使用类似Newton差分方式计算，随后二阶，三阶等高阶差商依次计算，最后得到主对角线元素值Q，最后如下等式构造Hermite多项式：

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Python插值法(3)————hermite插值多项式(拉格朗日型)
leetteel
11-10 2202
代码 import numpy as np from sympy import * from matplotlib import pyplot as plt def hermite(x, y, dy): p, la = symbols('p la') f = 0 n = len(x) for i in range(n): la = 1 lp = 0 for j in range(n): if j !
Python插值法(4)————hermite插值多项式(牛顿型)
leetteel
11-11 2855
代码 在这里插入代码片 结果如下图所示
[Python] Hermite 插值
arilx06604的专栏
03-27 1895
　　　　　　　　 # -*- coding: utf-8 -*- #Program 0.5 Hermite Interpolation import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np #计算基函数的导数值 def dl(i, xi): result = 0.0 for j in ra...
Python数值计算（16）——Hermite插值
cdinten的专栏
08-02 1405
不管是前面介绍到拉格朗日插值还是牛顿插值，拟合的函数比线性插值更加“优秀”，即它们都是连续可导的，但是，有时拟合还有这样的要求，就是除了在给定点处的函数值要相等外，还要求在这些指定点处的导数值也要是制定的值，甚至是m阶导数相等，也就是所谓的密切多项式，处理这类拟合的插值方法，就是Hermite插值。
数值分析_插值(朗格朗日_埃尔米特_三次样条)_python
01-18
研究生数值分析课程_最全python插值程序(朗格朗日_埃尔米特_三次样条)_python。自己做的，南大的在读研究生。
hermite插值_不同插值方法的比较及Python实现
weixin_39806413的博客
11-27 1672
不同插值方法的比较及Python实现最近在做债券收益率曲线绘制的相关项目，会涉及到一些插值方法的实现。为了弄清楚不同插值方法之间的差异，自己查询了一些相关的资料，但发现网上的资料不够系统，零零散散，便想着做一个读书笔记之类的东西以做留存。其中的疏漏在所难免，欢迎各位指正。本文主要通过代码实现来加深大家对不同插值方法之间差异的理解，具体的推导过程网上很容易搜索到相关资料，这里就不再赘述。•...
埃尔米特插值问题——用Python进行数值计算
anyou7947的博客
11-25 3643
　　当插值的要求涉及到对插值函数导数的要求时，普通插值问题就变为埃尔米特插值问题。拉格朗日插值和牛顿插值的要求较低，只需要插值函数的函数值在插值点与被插函数的值相等，以此来使得在其它非插值节点插值函数的值能接近被插函数。但是有时候要求会更高，不仅要插值函数与被插函数在插值节点函数值相等，而且要求它们的导数相等。 　　其实此时的情况并没有变得复杂，解决这个问题的思路与拉格朗日插值法的思路...
python分段线性插值_计算方法（3）——分段插值法（附Python程序）
weixin_39900206的博客
12-08 2058
在上一节计算方法(2)——插值法(附Python程序)当中，主要讲了插值法，介绍了龙格现象，并给出了插值法的代码。这一讲主要分段插值中的分段线性插值和分段Hermite插值，并给出分段插值的Python程序。在此之前需要注意一下，n为区间数，n+1为插值节点的个数。分段线性插值分段线性插值，需要两个列表，一个用于存放各点的x坐标，一个用于存放各点的y坐标。因为分段插值的算法需要x坐标按顺序增长，而...
hermite插值_计算方法（3）——分段插值法（附Python程序）
weixin_39934640的博客
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[数值算法]Hermite插值法
08-05 3503
相关的理论请参考相关的数值算法的书籍，我这里只给出关键的函数及主程序段，其余相关的细节就不再一一罗列了.Hermite插值法结合了函数的导数值，使得插值的精度更为提高: void hermite3(Type* xList,Type* yList,Type* yPList,Type x,FILE* outputFile){       Type h;/*The tween value*/      
Hermite插值法多项式
08-22
C语言实现的简单Hermite插值多项式 通过n+1个节点的次数不超过2n+1的Hermite插值多项式
Hermite 插值法
06-04
这是数值计算第三章的第三个程序----Hermite 插值法解方程组。
Hermite插值法
06-04
这是数值计算第三章的第三个程序----Hermite插值法。
数值分析-Hermite插值
11-19
该ppt详细阐述了在现代数值分析中常用的方法，Hermite插值
数值分析实验, 关于Hermite插值, 原创手打
10-23
数值分析实验, 关于Hermite插值, 原创手打, 内涵公式, 伪代码, Hermite具体实现, 以及程序编写思想与思路, 举例说明
Hermite（埃尔米特）插值法
Rayme629的博客
01-26 3万+
Hermite（埃尔米特）插值法 Hermite插值法是解决数学建模中预测类问题的最常用的方法，可以有效的解决“已知数据”数量不够的问题。 但是，直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着“龙格现象（Runge phenomenon）”。因此，在实际应用中，往往使用分段三次Hermite插值多项式（PCHIP），来提高“模拟数据的准确性”。 这里要说明一下“龙格现象（Runge phenomenon）”， 龙格现象（Runge phenomenon） 简单的解释为：插值多项式的震荡，即在两段处
分段三次hermite插值python
qq_46698811的博客
03-20 4827
根据大佬的matlab程序改写 算例函数是f(x)=exp(x) import numpy as np import time import matplotlib.pyplot as plt def f(x):#函数表达式,一阶导数 return np.exp(x) def H3(x,x0,x1,f0,f1,df0,df1):#定义两点三次 Hermite 插值函数 return (f0*(1+2*(x-x0)/(x1-x0))+df0*(x-x0))*((x-x1)/(x0-x1))**2
Hermite（埃尔米特）插值法 | 插值多项式+ 插值余项
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用途：中英文学习笔记，如有侵权，可评论留言，及时清理；学历：NUS计算机硕士；SYSU地球物理学士
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Lagrange插值法、Newton插值法、逐次插值法、分段插值法，只要求插值多项式pn(x)p_n(x)pn​(x)与被插值函数f(x)f(x)f(x)在插值节点处的函数值相等即可，即pn(xi)=f(xi)(i=0,1,⋯ ,n)p_n(x_i)=f(x_i)(i=0,1,\cdots,n)pn​(xi​)=f(xi​)(i=0,1,⋯,n)。但这种插值不能完全反映出被插值函数的性态。在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在节点处的函数值相同，而且还要求插值函数与被插值函数在某些节点处的导数值，
插值法-python及matlab实现
alina_ruc1203的博客
07-26 1199
选取跟节点最近的5个结点进行二次插值，在每个区间上，用拉格朗日插值法求取二次函数，取离节点最近的三个结点组成的区间。2.牛顿差值法的第n+1项只与前n项的值有关，与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算过程具有继承性。python 中的 list 是 python 的内置数据类型，list 中的数据类型不必相同，* 数据量过少时，不足以支撑分析的进行，插值法可以模拟产生一些新的靠谱的数据。在 list 中保存的是数据的存放的地址，即指针，并非数据。* plt.plot(x, y, "格式控制字符串")
Hermite 插值怎么用
最新发布
02-01
Hermite 插值是一种基于节点处函数值及其一阶导数值构造多项式的方法，它不仅考虑了每个插值点上的 y 值，还额外引入了该点斜率的信息。这种方式可以使得生成的曲线更加平滑，并且能够更好地拟合原始数据的趋势。 ### 使用 Hermite 插值的基本步骤 #### 1. 数据准备 首先需要确定你要插入的数据集，这个集合应该包含若干个离散点 `(xi, yi)` 和对应的导数 `yi'` 或者说切线方向信息。其中： - \( x_i \) 表示横坐标， - \( y_i = f(x_i)\) 表示纵坐标的观测值或测量结果, - \( y'_i=f'(x_i)\) 是在相应位置上的一阶导数值。 #### 2. 构建基函数 对于给定 n+1 对独立变量及相应的因变量（含导数），我们可以构建两个系列的基础多项式——幂次不超过n 的拉格朗日型Lagrange polynomial以及它的衍生版本。 假设我们有两个相邻的点 i 和 j ，那么在这两点间的局部区域里将采用下面形式的双三次Hermite 公式: \[ H(t)=a_it^3+b_it^2+c_it+d_i\] 这里 t=(x-x_{i})/(x_j-x_i)，是一个标准化后的相对距离比例因子；而系数 a,b,c,d 可以根据边界条件唯一求得： ```python from sympy import symbols, solve # 定义符号 t = symbols('t') ai, bi, ci, di = symbols('a b c d') # 已知条件 (假设有四个) equations = [ ai*t**3 + bi*t**2 + ci*t + di == yi_at_0, # 在起点 xi 满足 y=fi(xi) ai*1**3 + bi*1**2 +ci*1 +di==yj_at_h, # 终止于下一个区间端点 3*ai*t**2 + 2*bi*t +ci == fi_prime_xi, # 起始点满足特定导数约束 3*ai*(h)**2+ 2*bi*h +ci == fj_prime_xj # 结束时保持连续性过渡到下一阶段 ] solution=solve(equations,[ai,bi,ci,di]) ``` 实际上大多数科学计算库已经实现了上述过程自动化的 API 接口，比如 SciPy 提供了一个叫做 CubicHermiteSpline 的类可以直接使用。 #### 3. 应用场景举例 当我们想要连接几个已有的控制手柄形成一条流畅自然的路径轨迹的时候就可以选择这种方法。另一个例子是在动画制作领域中用于创建物体移动过程中更真实的运动效果模拟。 #### Python 示例代码片段 以下是使用SciPy进行简单二点间Cubic Hermite Spline插补的一个简短实例： ```python import numpy as np from scipy.interpolate import CubicHermiteSpline # 设定点的位置和对应的速度(即导数) points = [0., 5.] values = [-1., 7.] derivatives=[4., -9.] chspl=CubicHermiteSpline(points, values, derivatives) new_points=np.linspace(min(points), max(points)) interpolated_values= chspl(new_points) print("Interpolated Points:\n", new_points) print("\nCorresponding Values Using CH-Splines:", interpolated_values) ``` 此段脚本会输出新生成的时间序列上的估值列表。
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