Educational Codeforces Round 64 DEF 题解

最新推荐文章于 2023-12-19 17:47:43 发布

长沙橘子猫

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分类专栏：动态规划比赛----codeforces比赛题解

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比赛----codeforces比赛题解

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博客分享了比赛中几道难题的解题思路。包括求边权为0或1的树的合法点对，通过设数组和换根dp求解；求排列中合法区间个数，枚举最大值并向两边枚举；求抽数游戏赢的概率，将问题转化后用dp方程求解。

没想到这次比赛除了最后一题B题最难…

D. 0-1-Tree

题意：给一棵所有边权只能为0或1的树，定义点对（x,y）合法的条件是 x!=y 且 x 到 y 的路径中经过了权值为1的边后不会出现权值为0的边，求所有合法点对。

思路：设d[u][0]为u到u子树所有节点路径为全0或者先0后1的的个数，d[u][1]为路径全1个数，假设对于u的子树v，如果w(u,v)=0，那么显然d[u][0]+=d[v][0]+d[v][1]+1，如果w(u,v)=1，那么d[u][1]+=d[v][1]+1。我们先求出以1为根的答案，然后换根dp以O(n)复杂度遍历整颗树求所有点为根的答案。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
vector<pair<int,int> >G[maxn];
int d[maxn][2];
ll ans;
void dfs(int u,int fa)
{
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)
	{
		int v=G[u][i].first;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		if(G[u][i].second==1)
			d[u][1]+=d[v][1]+1;
		else
			d[u][0]+=d[v][0]+d[v][1]+1;
	}
}
void dfs2(int u,int fa)
{
	ans+=d[u][0]+d[u][1];
	for(int i=0;i<G[u].size();i++)
	{
		int v=G[u][i].first;
		if(v==fa)continue;
		int d1=d[u][1],d0=d[u][0];
		if(G[u][i].second==1)
		{
			d1-=d[v][1]+1;
			d[v][1]+=d1+1;
		}
		else
		{
			d0-=d[v][0]+d[v][1]+1;
			d[v][0]+=d1+d0+1;
		}
		dfs2(v,u);
	}
}
int main()
{
	int n,u,v,w;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		G[u].push_back(make_pair(v,w)); 
		G[v].push_back(make_pair(u,w));
	}
	dfs(1,0);
	dfs2(1,0);
	cout<<ans<<endl;
}

E. Special Segments of Permutation

题意：定义区间[l,r]合法条件是： $pl+pr=\max_{i=l}^{r}pi$

求有多少个合法区间

思路：由于p是个排列，那么我们可以枚举pi，假设它是区间最大值的贡献，然后以 i 中点向两边枚举，并用数组记录pl=pi-pr的个数，我们枚举的总次数显然不超过n，因此总复杂度n。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
int a[maxn],vis[maxn],n,ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        if(a[i]<a[i-1]||a[i]<a[i+1])
            continue;
        for(int j=i-1;j>=1&&a[i]>a[j];j--)
            vis[a[j]]++;
        for(int j=i+1;j<=n&&a[i]>a[j];j++)
            ans+=vis[a[i]-a[j]];
        for(int j=i-1;j>=1&&a[i]>a[j];j--)
            vis[a[j]]--;
    }
    printf("%d\n",ans);
}

F. Card Bag

题意：有n个数，每次你等概率随机抽出一个数x并删除，假设你上一次抽了一个数y，如果x=y，那么你赢了，如果x<y那么你输了，x>y那就继续抽选数字，求你赢的概率。

思路：学自网上大神：wzw1105，这个题的解法是把赢的方案数除以总方案数，但是你或许会有问题，假设5个数1 1 2 2 3，我抽了 1 2 2，游戏结束，都没抽完，我们可以这样思考，1 2 2 x y，都是赢的方案数，2 1 x y z 都是输的方案数，这样问题转化就很简单了，我们先把所有数排序，设d[i][j]为前 i 个不同的数抽了 j 个不同的数方案数，这个dp方程转移很简单不多说，我们枚举所有数的贡献，假设有a[ x ]个x，那么它的贡献显然就是 $\sum_{i=0}^{x-1}d[x-1][i]*a[x]*(a[x]-1])*(n-i-2)!$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5005,mod=998244353;
int d[maxn][maxn],a[maxn],b[maxn],ans;
ll p[maxn],inv[maxn];
void add(int &x,int y)
{
	x=x-mod+y;
	if(x<0)x+=mod;
}

ll ksm(ll x,int y)
{
	ll res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y/=2;
	}
	return res;
}
ll C(int n,int m)
{
    return p[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	int n,m=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&b[i]);
	sort(b+1,b+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(b[i]!=b[i-1])
		a[++m]=1;
	else
		a[m]++;
	d[0][0]=p[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        d[i][0]=1;
        p[i]=p[i-1]*i%mod;
        inv[i]=ksm(p[i],mod-2);
    }
	for(int i=1;i<=m;i++)
	for(int j=1;j<=i;j++)
	add(d[i][j],(1ll*d[i-1][j]+1ll*d[i-1][j-1]*a[i])%mod);

    for(int i=1;i<=m;i++)
    if(a[i]>=2)
    for(int j=0;j<i;j++)
        add(ans,1ll*d[i-1][j]*a[i]*(a[i]-1)%mod*p[n-j-2]%mod);
    ans=inv[n]*ans%mod;
    cout<<ans;
}