第十四届北航程序设计竞赛预赛 部分题解

于 2019-03-23 01:48:12 发布
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分类专栏： 数学----简单题 数据结构----线段树 数据结构----树状数组 动态规划 图论----最小生成树
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本文解析了北航ACM竞赛中的八道题目，包括签到题、构造题、搜索题等，涉及枚举、数据结构、贪心算法及图论等内容，并提供了部分题目的代码实现。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

北航的C题交了50来发还没过，自闭了.......明天就要去北航现场垫底了。

B 升级超梦

思路：暴力枚举每级看是否可行，签到题。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=105;
struct node
{
	int id,v;
	node(int a,int b)
	{
		id=a,v=b;
	}
	bool operator<(const node&t)const
	{
		return v>t.v;
	}
};
int A,B,C,n,m;
int ok(int k)
{
	int res=m;
	priority_queue<node>q;
	for(int i=1;i<k;i++)
	q.push(node(i,(i*A+B)%C));
	int sum=0;
	while(res>0&&!q.empty())
	{
		node e=q.top();q.pop();
		res-=e.v;
		if(res>=0)
		sum++;
	}
	if(sum+n+1>=k)return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&A,&B,&C);
		int ans=1;
		for(int i=2;i<=100;i++)
		if(ok(i))
		ans=i;
		printf("%d\n",ans);
	}
}

C 小张的魔法跳越

毒瘤题，昨晚肝到3.40都没切掉.....求大神给份代码。

D Bella 姐姐发辣条

签到题

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[105],b[105];
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		int n;
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i];
		int ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			cin>>b[i];
			if(a[i]<=a[i-1]+b[i])
			{
				a[i]=a[i-1]+b[i];
			}
			else
			ans+=(i-1)*(a[i]-a[i-1]-b[i]);
			ans+=a[i];
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
}

E 禁忌的共鸣

说白了就要要你构造一颗最大生成树，如果枚举所有点组成的边，复杂度n^2logn，我们可以把所有ai的所有因数求出来，假设ai=6有因数 1 2 3 6，那么我在这4个集合(1 ,2,3,6)都放进一个 i ，表示这些集合的权值是ai 的因数，预处理所有数后，从权值大的集合枚举，然后进行克鲁斯卡尔算法求生成树即可。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
vector<int>G[maxn],G2[maxn];
int p[maxn];
void init(int n)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=i;j<=n;j+=i)
	G[j].push_back(i);
}
int find(int u)
{
	if(p[u]!=u)
	p[u]=find(p[u]);
	return p[u];
}
int main()
{
	init(1e5);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n,m=0,x,mx=0;
		ll ans=0;
		scanf("%d",&n);
		m=n-1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			p[i]=i;
			mx=max(mx,x);
			for(int j=0;j<G[x].size();j++)
			{
				int v=G[x][j];
				G2[v].push_back(i);
			}
		}
		for(int i=mx;i;i--)
		if(G2[i].size()>1)
		{
			int u=G2[i][0];
			for(int j=1;j<G2[i].size();j++)
			{
				int v=G2[i][j];
				int fa=find(u),fb=find(v);
				if(fa!=fb)
				{
					p[fa]=fb;
					ans+=i;
					m--;
				}
				if(!m)
				break;
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
		for(int i=1;i<=mx;i++)
		G2[i].clear();
	}
}

F zzh 与同余方程

思路：我们将这个式子变形：(i+1)^{i+1}\equiv (i+1)^{i} \ mod \ m，

                                                     i(i+1)^{i}=km

很明显这个方程的解的个数是左边数字的因子个数，怎么求呢？设f(x)为x的因子个数，我们把x拆成多个质数的组合：x=p1^{a1}p2^{a2}...pk^{ak}，显然f(x)=(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)*...*(ak+1)，我们可以筛素数nlogn预处理所有的 f((i+1)^{i})和f(i)，因为 i 和 (i+1)肯定互质，那么f(i*(i+1)^{i})=f(i)*f((i+1)^{i})

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=1e7+5,N=1e7,mod=998244353;
int vis[maxn];
int sum[maxn],tmp[maxn];
void mul(int &x,int y)
{
	x=1ll*x*y%mod;
}
void add(int& x,int y)
{
	if(1ll*x+y>=mod)x=x-mod+y;
	else x+=y;
}
int gao(int n,int k)
{
	int res=0;
	while(n%k==0&&n>=k)
	{
		res++;
		n/=k;
	}
	return res;
}
void init(int n)
{		
	for(int i=1;i<=n;i++)
	sum[i]=tmp[i]=1;

	for(int i=2;i<=n+1;i++)
	if(!vis[i])
	{
		for(int j=i;j<=n+1;j+=i)
		{
			int temp=gao(j,i);
			mul(tmp[j],temp+1);
			vis[j]=1;
			mul(sum[j-1],1ll*temp*(j-1)%mod+1);
		}
	}
	//printf("%d %d\n",tmp[1],tmp[2]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	sum[i]=(1ll*sum[i]*tmp[i]%mod+sum[i-1])%mod;
}
int main()
{
	init(N);
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld\n",sum[n]);
	}
}

G 小z刷题

思路：设d[k][i]为所有以ai为后缀的上升子序列的长度的k次方的总和，我们知道(x+1)^k=C(k,0)x^k+C(k,1)x^k-1+...+C(k,k)x^0。那么我们用k+1个树状数组分别找到所有的 d[ k0 ][ j ]（k0<=k，j<i 且 aj<ai）的总和，然后借助二项式展开求出所有的 d[j][k]（j<=k）即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define low(x) x&-x
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=1e5+10,mod=1e9+7;
ll c[21][maxn];
int d[21][maxn];
ll ksm(ll x,int y)
{
	ll res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y/=2;
	}
	return res;
}
void add(int& x,int y)
{
	if(1ll*x+y>=mod)
	x=x-mod+y;
	else x+=y;
}
void add(int& x,ll y)
{
	if(1ll*x+y>=mod)
	x=x-mod+y;
	else x+=y;	
}
void up(int i,int x,int n,int v)
{
	for(;x<=n;x+=low(x))
	c[i][x]+=v;
}
int qu(int i,int x)
{
	int res=0;
	for(;x;x-=low(x))
	add(res,c[i][x]%mod);
	return res;
}
int A[maxn],B[maxn],Y[maxn],b[21],p[21],inv[21];
int C(int n,int m)
{
	return 1ll*p[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	int T;
	p[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=20;i++)
	p[i]=1ll*p[i-1]*i%mod,inv[i]=ksm(p[i],mod-2);
	
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n,k,x,y;
		int ans=0;
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&A[i],&Y[i]),B[i]=A[i];
		sort(B+1,B+1+n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			//scanf("%d%d",&x,&y);
			x=lower_bound(B+1,B+1+n,A[i])-B;
			y=Y[i];
			A[i]=x;
			for(int j=0;j<=k;j++)
			b[j]=qu(j,x-1);
			for(int j=0;j<=k;j++)
			{
				d[j][i]=1;
				for(int cur=0;cur<=j;cur++)
				add(d[j][i],1ll*C(j,cur)*b[j-cur]%mod);
				d[j][i]=1ll*d[j][i]*y%mod;
			}
			for(int j=0;j<=k;j++)
			up(j,x,n,d[j][i]);
			add(ans,d[k][i]);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=0;j<=k;j++)
			up(j,A[i],n,-d[j][i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

H Draw 顺小王子

思路：这题要是你用分类讨论写的话，那就问题很严重（我就是这样自闭的）......暴力枚举两张牌然后判断是否合法就行。


#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
char s[10];
int a[6],vis[55];
int id(char c)
{
	if(c>='1'&&c<='9')return c-'1';
	if(c=='T')return 9;
	if(c=='J')return 10;
	if(c=='Q')return 11;
	if(c=='K')return 12;
	return 0;
}
int b[10];
int ok(int x,int y)
{
	for(int i=1;i<=5;i++)
	b[i]=a[i];
	b[6]=x,b[7]=y;
	sort(b+1,b+8);
	int sz=unique(b+1,b+1+7)-b-1;
	
	for(int i=5;i<=sz;i++)
	if(b[i]-b[i-4]==4)return 1;
	if(b[1]==0)b[1]=13;
	sort(b+1,b+sz+1);
	for(int i=5;i<=sz;i++)
	if(b[i]-b[i-4]==4)return 1;
	
		
	return 0;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",s+1);
		int ans=0;
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		
		for(int i=1;i<=5;i++)
		{
			a[i]=id(s[i]);
			int x=a[i]*4;
			while(vis[x])x++;
			vis[x]=1;
		}	
		for(int i=0;i<52;i++)
		if(!vis[i])
		{
			vis[i]=1;
			for(int j=0;j<52;j++)
			if(!vis[j])
			{
				if(ok(i/4,j/4))
				ans++;
			}
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
}

K wjj 的自动售货机K wjj 的自动售货机

思路：线段树裸题，每次更新我都暴力更新到每个叶子节点就行，用最大最小值线段树去特判一下不必要的更新，速度快的飞起。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define low(x) x&-x
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
ll sum[maxn*4],mn[maxn*4],mx[maxn*4];
void pushdown(int o,int ls,int rs)
{
	sum[o]=sum[ls]+sum[rs];
	if(mn[ls]==0)mn[o]=mn[rs];
	else if(mn[rs]==0)mn[o]=mn[ls];
	else mn[o]=min(mn[ls],mn[rs]);
	mx[o]=max(mx[ls],mx[rs]);
}
void build(int o,int l,int r)
{
	int m=(l+r)/2,ls=o*2,rs=o*2+1;
	if(l==r)
	{
		scanf("%lld",&mn[o]);
		sum[o]=mx[o]=mn[o];
		return;
	}
	build(ls,l,m);
	build(rs,m+1,r);
	pushdown(o,ls,rs);
}

ll qumin(int o,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(mx[o]==0)return 0;
	if(l>=ql&&r<=qr&&mn[o]!=0)
	return mn[o];
	
	int m=(l+r)/2,ls=o*2,rs=o*2+1;
	ll t1=1e18,t2=1e18;
	if(ql<=m)t1=qumin(ls,l,m,ql,qr);
	if(qr>m)t2=qumin(rs,m+1,r,ql,qr);
	
	if(!t1)
	return t2;
	else if(!t2)return t1;
	return min(t1,t2);
}
ll qusum(int o,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(sum[o]==0)
	return 0;
	if(l>=ql&&r<=qr)
	return sum[o];
	int m=(l+r)/2,ls=o*2,rs=o*2+1;
	ll res=0;
	if(ql<=m)res+=qusum(ls,l,m,ql,qr);
	if(qr>m)res+=qusum(rs,m+1,r,ql,qr);
	return res;	
}
void up(int o,int l,int r,int ql,int qr,ll v)
{
	if(mx[o]==0)
	return;
	if(l==r)
	{
		mn[o]%=v;
		sum[o]=mx[o]=mn[o];
		return;
	}
	int m=(l+r)/2,ls=o*2,rs=o*2+1;
	if(ql<=m)up(ls,l,m,ql,qr,v);
	if(qr>m)up(rs,m+1,r,ql,qr,v);
	pushdown(o,ls,rs);
}
int main()
{
	int T;	
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int n,q,l,r;
		scanf("%d%d",&n,&q);
		build(1,1,n);
		while(q--)
		{
			scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%lld ",qusum(1,1,n,l,r));
			ll v=qumin(1,1,n,l,r);
			up(1,1,n,l,r,v);
			printf("%lld\n",qusum(1,1,n,l,r));
		}	
	}
}

 

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