如何理解拉格朗日乘子法和KKT条件？

最新推荐文章于 2023-07-21 13:45:04 发布

马同学图解数学

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分类专栏：统计与概率人工智能文章标签：拉格朗日乘子法 KKT

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本文详细介绍了拉格朗日乘子法及其推广——KKT条件。从直观理解到代数表达，涵盖无约束、等式约束及不等式约束下的极值问题，并给出具体实例说明。

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之前简单介绍了拉格朗日乘子法的基本思路：如何理解拉格朗日乘子法？

本文会继续介绍拉格朗日乘子法的细节，以及对其进行适当的推广（也就是所谓的KKT条件）。

1 无约束下的极值

1.1 直观

根据梯度的意义（参看如何理解梯度）可知，在函数 f(x) 的极值点梯度为0：

1.2 代数

要求（ $\text{minimize}$ 的意思是求极小值）：

$\text{minimize}\ f(x)$

只需解如下方程：

$\nabla f=0$

2 单等式约束下的极值

关于这一节，更详细的请参看：如何理解拉格朗日乘子法？

2.1 直观

要求方程 x^2y-3=0 与原点的最小距离：

问题被转化为了同心圆与 x^2y-3=0 什么时候相切：

相切就是在极小值点有相同的切线：

只要能通过数学把相切这个条件表示出来，就可以得到解。

我们把同心圆可以看作凸函数 f(x,y)=x^2+y^2 的等高线：

把方程 x^2y-3=0 看作凸函数 g(x,y)=x^2y 的等高线中的一条：

这样的等高线，同心圆，的法线就是 $\nabla f$ ：

的等高线的其中一条，方程 x^2y-3=0 ，的法线就是 $\nabla g$

两者相切就意味着，在切点，两者法线平行：

也就是：

$\nabla f+\lambda\nabla g=0$

2.2 代数

上面的问题形式化后，用代数表示为（ $\text{subject to}$ 的意思是服从于，约束于的意思）：

$\begin{aligned} & \text{minimize} & & f(x,y) \\ & \text{subject to} & & g(x,y) = 3\end{aligned}$

只需解如下方程组：

$\begin{cases} \nabla f+\lambda\nabla g=0\\ \\ g(x,y)=3\end{cases}$

3 多等式约束下的极值

比如下图：

要求被 g_1=0,g_2=0 约束后的极值，可以证明在极值点 $\nabla f$ 必然在 $\nabla g_1,\nabla g_2$ 张成的空间中。

那么上面的问题形式化后就是：

$\begin{aligned} & \text{minimize} & & f \\ & \text{subject to} & & g1=0,g_2=0\end{aligned}$

只需解如下方程组：

$\begin{cases} \nabla f+\lambda_1\nabla g_1+\lambda_2\nabla g_2=0\\ \\ g1=0,g_2=0\end{cases}$

更一般的，如果有个约束等式：

$\begin{aligned} & \text{minimize} & & f \\ & \text{subject to} & & g_i=0,i=1,2,\cdots,n\end{aligned}$

只需解如下方程组：

$\begin{cases} \displaystyle\nabla f+\sum_{i}^{n}\lambda_i\nabla g_i=0 \\ g_i=0,i=1,2,\cdots,n\end{cases}$

4 不等式约束下的极值

比如，我们要求刚才同心圆的最小值：

那肯定就是原点啦，半径为0肯定就是最小值了。

从代数上看就是要求：

$\text{minimize}\ f(x,y)=x^2+y^2$

解：

$\nabla f=0\implies (x,y)=(0,0)$

4.1 情况一

我们给它添加一个不等式约束，也就是求：

$\begin{aligned} & \text{minimize} & & f(x,y) \\ & \text{subject to} & & h(x,y)=x+y \le 1\end{aligned}$

可以看到，这个不等式约束实际上包含了原点：

所以这个约束等于没有，依然求解：

$\nabla f=0\implies (x,y)=(0,0)$

4.2 情况二

换一个不等式约束：

$\begin{aligned} & \text{minimize} & & f(x,y) \\ & \text{subject to} & & h(x,y)=x+y \le -2\end{aligned}$

不等式约束看起来是这样的：

因为同心圆是凸函数的等高线，所以等高线的值是这么排列的：

所以，在不等式约束下，最小值是在边缘相切的地方取得：

和用等式 h(x,y)=x+y=-2 进行约束效果是一样的：

因此可以通过解方程组求出答案：

$\begin{cases} \nabla f+\mu\nabla h=0 \\ h(x,y)=x+y=-2\end{cases}$

4.3 新增的条件

仔细研究，不等式实际上带来了新的条件。

同心圆是凸函数的等高线，等高线的值如下排列，所以在相切处，法线也就是 $\nabla f$ 的方向如下（法线也就是梯度，指向增长最快的方向，也就是等高线的值变大的方向）：

而凸函数 h(x,y) 的法线 $\nabla h$ 也一样指向 h(x,y) 增长的方向，这个方向正好和 $\nabla f$ 相反：

因此：

$\nabla f+\mu\nabla h=0,\mu \ge 0$

其中， $\mu \ge 0$ 就表明 $\nabla f,\nabla h$ 方向相反。

因此刚才的方程组可以再增加一个条件：

$\begin{cases} \nabla f+\mu\nabla h=0 \\ h(x,y)=x+y=-2 \\ \mu \ge 0\end{cases}$

5 KKT条件

因此，综合上面的所有情况，可以把求如下的极值：

$\begin{aligned} & \text{minimize} & & f \\ & \text{subject to} & & g_i=0,i=1,2,\cdots,n\\ & & & h_i\le 0,i=1,2,\cdots,n\\\end{aligned}$

通过解下面这个方程组来得到答案：

$\begin{cases} \displaystyle\nabla f+\sum_{i}^{n}\lambda_i\nabla g_i+\sum_{j}^{m}\mu_j\nabla h_j=0 \\ g_i=0,i=1,2,\cdots,n\\ \\ h_j\le 0,j=1,2,\cdots,m\\ \\ \mu_j \ge 0\\ \\ \mu_j h_j = 0\\\end{cases}$

这个方程组也就是所谓的KKT条件。

进一步解释下方程组的各个项：

$\begin{array}{c|c} \hline \\ \quad \displaystyle\nabla f+\sum_{i}^{n}\lambda_i\nabla g_i+\sum_{j}^{m}\mu_j\nabla h_j=0\quad&\quad 等式与不等式约束的梯度的线性组合\quad \\ \quad g_i=0,i=1,2,\cdots,n\quad&\quad等式约束\quad\\ \quad h_j\le 0,j=1,2,\cdots,m\quad&\quad不等式约束\quad\\ \quad \mu_j \ge 0\quad&\quad不等式约束下，法线方向相反\quad\\ \quad \mu_j h_j=0\quad&\quad不等式约束下\begin{cases}情况一：\mu=0,h_j\le 0\\\\情况二：\mu_j \ge 0,h_j=0\end{cases}\quad\\ \\ \hline\end{array}$