微积分——导数和切线问题

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原创 2023-01-29 17:05:50 4.7k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

Secant Method（割线法）：一种数值计算方法割线法的基本思想是通过不断构造割线来逼近方程的根。假设我们要求解方程f(x) = 0的根，初始时我们选择两个近似的根值x0和x1。它通过构造割线来逼近方程的根，并通过迭代计算新的近似根值。要注意的是，在实际使用中，需要根据具体的方程和要求进行适当的调整和优化。它是迭代方法的一种，通过利用两个初始点的函数值和切线来逼近方程的根。在本文中，我们将详细介绍割线法的原理，并提供使用Python实现的源代码示例。然后，我们可以使用x1和x2来构造新的割线，并继续迭代这个过程，直到我们达到所需的精度或满足停止准则。阅读详情

1. 切线(Tangent Line)问题

2. 函数的导数(derivative)

3. 函数的可微性(differentiability)与连续性(Continuity)

1. 切线(Tangent Line)问题

微积分的出现源于17世纪欧洲数学家们正在研究解决的四个主要的问题：

(1) 切线(tangent line)问题；

(2) 速度(velocity)和加速度(acceleration)问题；

(3) 最小值(minimum)和最大值(maximum)问题；

(4) 面积(area)问题。

以上每一个问题都包括极限的概念，而且，微积分可以由以上任意一个问题引入。因此，下面从切线问题入手引入微积分。

尽管皮埃尔·德·费马(Pierre de Fermat)(法国，1601–1665)、笛卡尔(法国，René Descartes) (1596–1650)、克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huygens)(荷兰，1629–1695) 和伊萨克·巴罗(英国，Isaac Barrow)(1630–1677)都给出了切线问题的部分解，但据信给出第一个通解的是艾萨克·牛顿(Isaac Newton)(英国，1642–1727) 和戈特弗里德·莱布尼茨(Gottfried Leibniz)(德国，1646–1716)。牛顿在这个问题上的工作源于他对光学(optics)和光折射(light refraction)的兴趣。(注：关于切线问题，在1637年，数学家笛卡尔指出：“And I dare say that this is not only the most useful and general problem in geometry that I know, but even that I ever desire to know.(我敢说，这不仅是我所知道的最有用、最普遍的几何问题，而且是我一直渴望知道的问题。)”)

一条直线在曲线上的某一点与曲线相切是什么意思呢？对于一个圆，圆上某一点P的切线是在P点与径线(radial line)垂直(perpendicular)的直线,如图1.1所示。

----------------------------图1.1 图的切线---------------------

然而，对于任意曲线，问题更加复杂。例如，对于1.2中的曲线，你想如何定义曲线的切线呢？你可能会说，当一条直线与曲线上某一点P相接触时，它就与这条曲线相切。这种定义对于图1.2中的第一种曲线适用(它是对称的，点与曲线不相交)，但却不适用于第二种曲线(直线与曲线有效点)。或者，你可能会说，当一条直线与这条曲线在某一点恰好接触或者相交(intersects)时，这条直线便是为条曲线的一条切线。这种定义适用于圆，但却不适用于任意曲线，例如，图1.2中第三种曲线(既相切又相交)。

-------------------------图1.2 曲线上某一点的切线----------------

在本质上，求曲线上某一点P的切线问题，归结为求得曲线上某一点P的切线的斜率(slope)问题。您可以使用穿过切点(the point of tangency)和曲线上第二个点的割线(secant line)来近似地表示此斜率，如下图1.3。

-------------图1.3 穿过点(c,f(c))和点(c+Δx,f(c+Δx))的切线----------------

假如(c,f(c))是切点(the point of tangency)，并且

(c+Δx,f(c+Δx))

是函数f图像上的第二个点，则通过这两个点的割线的斜率可以通过代入斜率公式算出

$m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$m_{sec}=\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{(c+\Delta x)-c}$ （y的变化/x的变化）

$m_{sec}=\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}$ (切线的斜率)

等式的右边是函数的差商(difference quotient)。分母(denominator) Δx是x轴方向的变化值，分子

Δy = f(c+Δx) – f(c)

是y轴方向的变化值。

这个例程(procedure,即使用斜率公式表示法)的美妙之处在于，您可以通过选择越来越接近切点的点来获得越来越准确的切线斜率近似值，如下图1.4所示

-----------------------图1.4 切线近似值-----------------------------------

具有斜率m的切线的定义

假如f是定义在包含c点的开区间上的函数，并且假如以下极限

$\lim _{\Delta x->0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x->0}\frac{f(c+\Delta x)-f(c)}{\Delta x}=m$

存在,则穿过点(c, f(c))且具有斜率m的直线就是函数f的图像上位于点(c, f(c))处的切线(tangent line)。

函数f 的图像上位于点(c, f(c))处的切线的斜率也称为函数f的图像上位于点x=c处的斜率。

2. 函数的导数(derivative)

用于定义切线斜率的极限也用于定义微积分的两个基本操作之一——微分(differentiation)。这是微积分的关键点。

函数导数的定义

假如 f 的极限存在，则函数f 位于x点的导数是（这里只针对x点）

$f'(x)=\lim_{x->0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

如果这种极限存对于定义域上的所有x都存在(针对所有点都存在), 则称刚函数f ’是函数 f 的导函数，简称导数，导函数也是x的函数。

(注：关于导数(derivative)这个概念，由于函数的导数f ’是由函数f“导出的、衍生出的、演绎出的、推导出的、等等(derived)”,因此，中文将其译为“导数”。)

应该认识到，x的函数的导数也是x的函数，这个“新产生”的函数给出了对于任意点(x,f(x))的f函数图形上的切线斜率(slope)(假如函数图形在这一点处有切线)。这个导数也可以用于确定一个变量针对别一个变量的“变化的瞬时率”(或简称“变化率”)。

因此，从定义上可以看出，导数的确切数学含义为“在定义域内任意某点x，当函数的变化(即Δx无限趋近于0时)趋近于0时，函数在这一点的的变化值与其自变量的相应变化值之比的极限值”，简单地说，就是函数在任意某点x的导数是“变化率的极限值”(注：将“导数”说成是“微商”是不严谨的)，如果这种极限值对于定义域上的所有自变量都成立，那么这种表达式就是函数的导函数，导数函数就是体现这种变化率的通用表达式。

求这个导数的过程称为微分(differentiation)。当一个函数在x点的导数存在，则这个函数在x点可微(differentiable),且当它在开区间(a,b)上的每一点都可微，则此函数在开区间(a,b)上可微。