如何理解概率论中的“矩”？

给我一个支点和一根足够长的棍子，我就可以举起整个地球。

----阿基米德

对比物理的力矩，你会发现，概率论中的“矩”真的是很有启发性的一个词。

1 力矩

大家应该都知道物理中的力矩，我这里也不展开说细节了，用一幅图来帮助大家回忆一下：

上图中，两边能保持平衡，只要满足下面的式子就可以了（很粗糙的式子，没把力作为向量来考虑）：

其中，都称为力矩。

可以看出上图的大，小，但由于杆子长度不同，仍然可以取得平衡。

利用上图的原理，我们就可以制作出秤：

2 概率论中的“矩”

在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。

2.1 彩票的问题

福利彩票，每一注两元钱，真是中国的良心啊，猪肉、房价都涨了多少了！？

每一注的中奖几率如下（胡诌的）：

画成概率分布大概就是这样的：

不过，我想你大致不会认为，这花两元钱买的彩票，真的就价值五百万。

我们用概率来组装一把“秤”：

“秤”摆好了，我们尝试称一下：

称量实际上是：

这么少？不是说好了五百万的吗？

没有办法，中奖概率太低了，离秤的中心太近了（对应于力矩而言，就是力臂太短了）。中国有句古话：“二鸟在林不如一鸟在手”，说的真的有道理啊。

把整张彩票都放上去称（秤上的刻度是随便画的，因为相差太悬殊，没有办法按照真是比例来画）：

具体计算如下：

这张彩票原来只值1.5元？血本无归啊！

3 “矩”

学过概率的都知道，我们上面计算的就是期望：

其实这就是“矩”：

因为是一次幂，所以也称为“一阶矩”。

再比如方差：

其中的距离也需要称量之后才能使用，所以方差也称为“二阶矩”。

“三阶矩”、“四阶矩”、“高阶矩”，各有用途，但是共同的特点就是称量之后才能使用。