三种LCA算法（三）：转化为LCA问题（dfs+ST表实现）

转化为RMQ问题也是比较常用的LCA算法之一，大多采用dfs+ST表实现，在线算法，复杂度为O（n + nlogn + Q），Q为查询次数。在线算法里，dfs+ST表算法比Doubly算法快。

算法流程：

1.对树进行dfs，将遍历到的节点按照顺序记下，将得到一个长度为2*n - 1的序列。

2.每个节点都在序列中出现，我们记录节点u第一次在序列中出现的位置为first[u]。

3.根据dfs的性质，对于两节点u、v，从first[u]遍历到first[v]的过程会经过LCA（u，v），他的深度是从min（first[u]，first[v]）到max（first[u]，first[v]）序列中最小的。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int n;
//前向星存树
int cnt, head[1005];
struct edges {
	int to, next;
}edge[2010];
//遍历信息
int tot, path[2010], depth[2010], first[1005];//path：遍历路径 depth：路径上的点的深度 first：节点在路经中首先出现的位置
//ST表信息
int dp[2010][15], upper[2010];
void add(int x, int y) {//树加边
	cnt++;
	edge[cnt].to = y;
	edge[cnt].next = head[x];
	head[x] = cnt;
}
void dfs(int x, int fa, int dep) {
	path[++tot] = x; depth[tot] = dep, first[x] = x;
	for (int i = head[x]; i; i = edge[i].next) {
		int y = edge[i].to;
		if (y != x) {
			dfs(y, x, dep + 1);
			path[++tot] = x;
			depth[tot] = dep;
		}
	}
}
void init() {//ST表相关准备
	upper[0] = -1;
	for (int i = 1; i < 2010; i++) {
		upper[i] = i &(i - 1) == 0 ? upper[i - 1] + 1 : upper[i - 1];
	}
}
void ST() {//建ST表
	int k = upper[tot + 1];
	for (int i = 0; i <= tot; i++) {
		dp[i][0] = i;
	}
	for (int i = 1; i <= k; i++) {
		for (int j = 0;j + (1 << i) - 1 <= tot; j++) {
			int a = dp[j][i - 1];
			int b = dp[j + (1 << (i - 1))][i - 1];
			dp[j][i] = depth[a] < depth[b] ? a : b;
		}
	}
}
int rmq(int le, int rig) {//转化为rmq问题
	int k = upper[rig - le + 1];
	int a = dp[le][k];
	int b = dp[rig - (1 << k) + 1][k];
	return depth[a] < depth[b] ? a : b;
}
int lca(int x, int y) {//lca问题
	x = first[x];
	y = first[y];
	if (x > y) swap(x, y);
	return path[rmq(x, y)];
}
int main() {
	int Q;
	int a, b;
	init();
	while (scanf("%d%d", &n, &Q) != EOF) {
		cnt = 0;
		memset(head, 0, sizeof(head));
		for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
			scanf("%d%d", &a, &b);
			add(a, b);
			add(b, a);
		}
		tot = -1;
		dfs(0, -1, 0);//假设0为树根
		ST();
		for (int i = 0; i < Q; i++) {
			scanf("%d%d", &a, &b);
			printf("%d\n", lca(a, b));
		}
	}
	return 0;
}