Tr A（矩阵乘法快速幂）

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂算法来高效计算特定方阵A的k次幂的迹（即主对角线元素之和）的方法，并给出了针对大规模数据的有效求解方案，通过模运算确保结果范围。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Tr A

Problem Description：
A为一个方阵，则Tr A表示A的迹（就是主对角线上各项的和），现要求Tr(A^k)%9973。
Input:
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行，每行有n个数据，每个数据的范围是[0,9]，表示方阵A的内容。
Output:
对应每组数据，输出Tr(A^k)%9973。
Sample Input:
2
2 2
1 0
0 1
3 99999999
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Sample Output:
2
2686

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=11;
struct node
{
    int map[maxn][maxn];
};
node A,B;
int t,n,k;
node power(node a,node b)
{
    node c;
    memset(c.map,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            c.map[i][j]+=a.map[i][k]*b.map[k][j];
            c.map[i][j]%=9973;
        }
    return c;
}
node f(node s,int k)
{
    memset(s.map,0,sizeof(s));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    s.map[i][i]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1)
        s=power(s,A);
        A=power(A,A);
        k>>=1;
    }
    return s;
}
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>k;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=n;j++)
          cin>>A.map[i][j];
        B=f(A,k);
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans+=B.map[i][i];
            ans%=9973;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}