Tr A(矩阵快速幂)

Tr A

A为一个方阵,则Tr A表示A的迹(就是主对角线上各项的和),现要求Tr(A^k)%9973。
Input
数据的第一行是一个T,表示有T组数据。
每组数据的第一行有n(2 <= n <= 10)和k(2 <= k < 10^9)两个数据。接下来有n行,每行有n个数据,每个数据的范围是[0,9],表示方阵A的内容。
Output
对应每组数据,输出Tr(A^k)%9973。
Sample Input
2
2 2
1 0
0 1
3 99999999
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Sample Output
2
2686

这道题。。。。。
充分让我认识到了自己的蠢,把9973写成9937样例不对还一直找不出来,还交了一发。。。(脑子真的是个好东西哦)

ac代码:

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;

int f;
int mod=9973;
struct node{
	int m[11][11];
};
node mul(node a,node b){
	node ans;
	memset(ans.m ,0,sizeof(ans.m ));
	for(int i=1;i<=f;i++){
		for(int j=1;j<=f;j++){
			for(int k=1;k<=f;k++){
				ans.m[i][j] =(ans.m[i][j] +a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return ans;
}

node ksm(node a,long int b){
	node res;
	memset(res.m,0,sizeof(res.m));
	for(int i=1;i<=f;i++){
		res.m [i][i]=1;
	}
	while(b){
		if(b&1){
			
			res=mul(res,a);
		}
		
		b>>=1;
		a=mul(a,a);
		/*for(int i=1;i<=f;i++){
			for(int j=1;j<=f;j++){
				cout<<a.m [i][j]<<" ";
			}
			cout<<endl;
		}*/
	}
	return res;
}

int main(){
	
	long int n,b;
	cin>>n;
	
	while(n--){
		cin>>f>>b;
		
			node a,b1;
		for(int i=1;i<=f;i++){
			for(int j=1;j<=f;j++){
				cin>>a.m [i][j];
			}
		}
		b1=ksm(a,b);
		int ans=0;
		/*for(int i=1;i<=f;i++){
			for(int j=1;j<=f;j++){
				cout<<b1.m [i][j]<<" ";
			}
			cout<<endl;
		}*/
		for(int i=1;i<=f;i++){
			ans+=b1.m [i][i];
			ans%=mod;
			//cout<<b1.m [i][i]<<endl;
		}
		cout<<ans<<endl;
		
		
		
	}
	return 0;
}

/*
2
2 4
1 1
0 1
3 99999999
1 2 3
4 5 6
7 8 9
*/
### 关于n阶k次幂等矩阵的定义、性质及相关算法 #### 定义 n阶k次幂等矩阵是指满足 \( A^k = A \) 的 n 阶方阵 \( A \),其中 \( k \geq 2 \)[^1]。这意味着当矩阵 \( A \) 进行连续乘法运算达到 \( k \) 次时,结果仍保持不变。 --- #### 性质 1. **幂等性**:对于任意正整数 \( m \geq k \),有 \( A^m = A \)[^1]。 2. **特征值约束**:如果矩阵 \( A \) 是可对角化的,则其特征值只能取值为 0 或 1[^3]。 3. **秩与迹的关系**:设 \( r(A) \) 表示矩阵 \( A \) 的秩,\( tr(A) \) 表示矩阵 \( A \) 的迹(主对角线元素之和),则 \( r(A) = tr(A) \)。 4. **投影矩阵特性**:任何幂等矩阵都可以看作是一个投影算子,在几何上表示向某个子空间的投影操作[^3]。 --- #### 相关算法 以下是基于矩阵快速幂方法计算幂等矩阵的一个通用实现: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MOD = 1e9 + 7; typedef vector<vector<long long>> Matrix; // 矩阵乘法函数 Matrix multiply(const Matrix &A, const Matrix &B, int size) { Matrix C(size, vector<long long>(size, 0)); for (int i = 0; i < size; ++i) { for (int j = 0; j < size; ++j) { for (int k = 0; k < size; ++k) { C[i][j] = (C[i][j] + A[i][k] * B[k][j]) % MOD; } } } return C; } // 快速幂算法 Matrix matrixExponentiation(Matrix base, long long exp, int size) { Matrix result(size, vector<long long>(size, 0)); for (int i = 0; i < size; ++i) result[i][i] = 1; // 初始化单位矩阵 while (exp > 0) { if (exp & 1) result = multiply(result, base, size); base = multiply(base, base, size); exp >>= 1; } return result; } ``` 上述代码展示了如何利用矩阵快速幂来高效计算大指数下的矩阵幂次。此方法特别适合处理大规模数据集中的幂等矩阵验证或相关应用问题。 --- #### 示例 考虑一个简单的二阶幂等矩阵: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}. \] 显然,无论将 \( A \) 自身相乘多少次 (\( k \geq 2 \)),结果始终等于原矩阵 \( A \)[^3]。 --- 问题
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值