2019牛客多校赛第九场 I KM and M

原创于 2019-08-21 20:59:58 发布 · 224 阅读

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本文探讨了一种使用位运算结合数论求和的方法来解决特定数学问题的算法实现。通过分析m的倍数中某一位为1的计数问题，引入了一个高效的递归求和函数get，用于计算等差数列整除一个整数的求和式。代码示例展示了如何运用此方法，并通过多次调用get函数完成整个求解过程。

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首先，可以按位考虑，对于第i位有多少个m的倍数满足这一位上为1？

对于一个数x，我们判断这一位上是否为1，参考十进制的做法，即 ; $x/(1<<i) -x/(1<<(i+1))*2$

那么将公式变一下型： $\sum_{i=0}^{40}$ $1<<i*( \sum_{j=1}^{n} j*m/(1<<i) - 2*\sum_{j=1}^{n}j*m/(1<<(i+1)) )$

后半部分是一个等差数列整除一个整数的求和式。

很久之前就存过这个板子了，但比赛时还是不会做。。。。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
#define lll __int128
#define mod 1000000007
//a 公差 b 首项 c 除数 n 项数
lll get(lll a,lll b,lll c,lll n){
    if (n<=0) return 0;
    if (n==1) return (b/c)%mod ;
    lll tmp = 0;
    tmp +=(lll)(a/c)*(n-1)%mod*n/2%mod+ (lll)b/c*n%mod;
    tmp%=mod;
    a = a%c;
    b = b%c;
    if (a==0) return tmp;
    return (tmp+get(c,(a*n+b)%c,a,(a*n+b)/c))%mod;
}

int main()
{
    ll n,m,ans=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<40;i++){
        if(m&(1ll<<i)){
            ll t=get(m,0,1ll<<i,n)-2*get(m,0,2ll<<i,n);
            t=(t%mod+mod)%mod;
            ans=(ans+(1ll<<i)%mod*t%mod)%mod;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}