空间金字塔池化(Spatial Pyramid Pooling, SPP)

空间金字塔池化(Spatial Pyramid Pooling, SPP)

在SPPnet和Fast-RCNN中都用到了空间金字塔池化(Spatial Pyramid Pooling, SPP)来提高object detection的效率。SPP本质的目的是为了使得CNN可以接受任意尺寸的输入图片，从而避免了图像预处理中要将图片resize到统一尺寸这个限制。

SPPnet论文中给出了如下的图示：

给定一张任意尺寸的输入图片，首先经过一个网络，得到某卷积层的输出（即图中Conv5的输出）；之后经过三个不同的池化层，分别得到$16\times 256$维、$4\times 256$维和$1\times 256$维的向量，将这些向量拼接起来，即得到固定长度的特征向量（fixed-length representation，这里长度为5376）。无论输入的图片是任何尺寸的，我们都可以得到长度为5376的特征向量。

卷积层实际上并不受限于输入图像的尺寸，无论给定什么尺寸的图，卷积都是可以进行的。然而后面的全连接层就不行了，必须接受固定尺寸的输入。所以通过上述的金字塔池化，就可以解决全连接层的输入问题。从而使得网络可以接受任意尺寸的输入图片。

单看论文还是不好理解，到底是如何操作的。我们从代码的角度来看下是如何实现的，最后再证明下这样确实是可行的。

import torch.nn as nn
import torch

def spatial_pyramid_pool(previous_conv, num_sample, previous_conv_size, out_pool_size):
    '''
    previous_conv: a tensor vector of previous convolution layer
    num_sample: an int number of image in the batch
    previous_conv_size: an int vector [height, width] of the matrix features size of previous convolution layer
    out_pool_size: a int vector of expected output size of max pooling layer
    
    returns: a tensor vector with shape [1 x n] is the concentration of multi-level pooling
    '''    
    print(previous_conv.size())
    for i in range(len(out_pool_size)):
        h_wid = int(math.ceil(previous_conv_size[0] / out_pool_size[i]))
        w_wid = int(math.ceil(previous_conv_size[1] / out_pool_size[i]))
        h_pad = int((h_wid*out_pool_size[i] - previous_conv_size[0] + 1)/2)
        w_pad = int((w_wid*out_pool_size[i] - previous_conv_size[1] + 1)/2)
        print (h_wid, w_wid,h_pad,w_pad)
        maxpool = nn.MaxPool2d((h_wid, w_wid), stride=(h_wid, w_wid), padding=(h_pad, w_pad))
        x = maxpool(previous_conv)
        if(i == 0):
            spp = x.view(num_sample,-1)
        else:
            spp = torch.cat((spp,x.view(num_sample,-1)), 1)
    return spp

假如这里输入的feature map即previous_conv的channel为512，out_pool_size=[4，2，1]。则经过这三个池化层，我们分别得到$4\times 4\times 512$，$2\times 2\times 512$ 和 $1\times 1\times 512$的feature map。展开拼接后得到10752维度的特征向量。

根据上述代码，我们可以得到计算的公式：

• 设输入尺寸为：$W_{in}\times H_{in}\times C_{in}$。
• 设期望的池化层输出尺寸为：$n$。这里池化不改变channel，所以$C_{out}=C_{in}$。即输出尺寸为$n\times n\times C_{out}$。

池化层的kernel_size：

$$\begin{gathered} F_w=\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil \\ {F}_h=\lceil \frac{H_{in}}{n}\rceil \end{gathered}$$

池化层的stride:

$$\begin{gathered} S_w=F_w \\ {S}_h=F_h \end{gathered}$$

池化层的padding：

$$\begin{gathered} P_w=\lfloor \frac{F_w\times n-W_{in}+1}{2}\rfloor \\ {P}_h=\lfloor \frac{F_h\times n-H_{in}+1}{2}\rfloor \end{gathered}$$

根据卷积层池化层输出尺寸公式：

$$\begin{gathered} W_{out}=\frac{W_{in}-F_w+2\times P_w}{S_w}+1 \\ {H}_{out}=\frac{H_{in}-F_h+2\times P_h}{S_h}+1 \end{gathered}$$

我们可以看到给定任何尺寸的输入和$n$，我们期望池化层输出的尺寸是：$n\times n\times C_{out}$。给$n$以不同的值，我们就可以得到不同的输出，展开后拼接就是一个固定的特征向量。所以我们需要证明如下的等式是否成立：

$$\begin{gathered} W_{out}=n \\ {H}_{out}=n \end{gathered}$$

我们以$W_{out}$为例来看看证明过程，$H_{out}=n$的证明是一样的。将$F_w$，$P_w$和$S_w$代入卷积层池化层输出尺寸公式，可得：

$$W_{out}=\frac{W_{in}-\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil +2\times \lfloor \frac{\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil \times n-W_{in}+1}{2}\rfloor }{\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil }+1$$

这里取上整和下整可以分情况讨论，这里我们只看一种特殊的情况，即恰好可整除。则可得：

$$\begin{gathered} W_{out}=\frac{W_{in}-\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil +2\times \lfloor \frac{\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil \times n-W_{in}+1}{2}\rfloor }{\lceil \frac{W_{in}}{n}\rceil }+1 \\ =\frac{W_{in}-\frac{W_{in}}{n}+\frac{W_{in}}{n}\times n-W_{in}+1}{\frac{W_{in}}{n}}+1 \\ =n-1+1 \\ =n \end{gathered}$$

同理，我们也可以证明其它的情况。由此，对于不同的输入尺寸，channel是一致的，而$n$值也是一致的，因此输出尺寸是一致的。因此可以适应于不同尺寸的图片输入。