Caramel_biscuit的博客

充分性：设e=uv，若e不是G的割边，则G-e仍连通，从而G-e中存在(u,v)路P，这样P+e便是G中含e的圈，这与假设“e不在G的任何圈中”矛盾。若不然，设e=uv为割边，则G-e的含有顶点u(或v)的那个分支中点u或v的度数必为奇数，而其余点的度数均为偶数，与度数为奇数的顶点的个数为偶数矛盾。若Γ含e，用P替换e后也可以得到G-e中一条(x,y)路，以上表明G-e连通，这与e是割边矛盾，所以e不在G的任何圈中。设e是图G的一条边，若ω(G-e)>ω(G)，则称e为G的割边。

对G的任意一条边e，如果e是某面的割边，那么由面的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边，那么它必然属于是某两个面的公共边，由面的次数定义知，它也给总次数贡献2次。可平面图G的边不交叉的一种画法称为G的一个平面嵌入，G的平面嵌入表示的图称为平面图。设G是一个平面图，G将所嵌入的平面划分为若干个区域，每个区域的内部连同边界称为G的面，无界的区域称为外部面或无限面。f是G的一个面，构成f的边界的边数（割边计算2次）称为面f的次数，记为deg(f)空调管道的设计：某景区有6个景点，位置分布如下图。

信息从信息源到目的地需要经过若干中间站存储和转发。因此，信息传输延迟可以用图的顶点间距离来度量。在信息的单路径传输中，分析通信延迟，只需要考虑网络的直接即可。但是，如果一次传输的信息量较大，远远超出链路带宽，就需要所谓的分包传送。

从不同顶点出发可能得到不同的欧拉环游若连通图每个顶点的度均为偶数，则该图是欧拉图欧拉图的边集能划分成边不重的圈的并，所以一定没有割边

完全图Kn的点色数为n，边色数依据n的奇偶来定，当n为奇数时，边色数为n；当n为偶数时，边色数=n-1。完全图没有顶点隔，实际上也只有以完全图为生成子图的图没有顶点隔。等于对应顶点vi的度数，所以对角线元素之和等于边数的两倍。连通度是“使图不连通或成为平凡图，最少需要删去的点数。完全图Kn是n-1连通的，但不存在点割。有向图中，顶点的出度之和等于边数。最小度的度数大于等于点连通度。点连通度和边连通度均为n-1.A的所有特征值的平方和等于A。k连通的，一定是k边连通的。

在有向图的邻接矩阵中，每一行就是对应元素的出度之和，每一列是对应元素的入度之和，所有元素之和等于边数。B：因为每个点的度都大于等于2/n，因此构造闭包时不相邻的两点之间都要连线，所以闭包为完全图。在有向图的关联矩阵中，每一列恰有一个1和一个-1，因此所有元素之和为0.D：由Dirac定理得，该图为连通H图，所以其本身就是一个2-因子。A：最大度是7，大于了顶点数6，故不是简单图的度序列。B：树T只有为K2时可能是1正则图，除此之外，都不是。B：欧拉图是边不重的圈的并，所以不存在割边。

若存在，则将可扩路中M与非M中的边互换，得到一个比M多一条边的匹配M’，再对M’重复上面过程。因此，对于任意的顶点w，按照上述方式可以找到唯一的一个顶点与之配对，因为o(T‒v)=1，所以T具有偶数个顶点，从而T的所有顶点都可以两两配对。算法是从X的每个非饱和顶点寻找M可扩路，若从X的每个非饱和点出发都无M可扩路，则M无可扩路，从而M是最大匹配。个顶点，每个顶点可以用长度为n的二进制码来表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。划分顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，否则归入Y。

一个图G定义为一个有序对（V,E），记为V=（V,E），其中V是一个非空集合，称为顶点集或点集，其元素称为顶点或点。E是由V中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中出现多次。图G的顶点集记为V(G)，边集记为E(G)。图G的顶点数或边数用n和m表示。若边e=ev，此时称u和v是e的端点；并称u和v相邻，u与e相关联。若两条边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。孤立点：不与任何边相关联的点。自环：两端点重合的边。重边：连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。

定义：设G是图，对G的边进行着色，若相临边着不同颜色，则称为对G进行正常边着色；如果能用k种颜色对图G进行正常边着色，则G是k边可着色的。设G是一个图，对G的每个顶点着色，使得相邻顶点着不同颜色，对G的正常顶点着色；对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的一种划分方式，着同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此互不相邻，所以又称为点独立集。对图G正常顶点着色需要的最少颜色数，称为图G的点色数，简称色数。**设图G=(V, E)是n阶简单图，若n=2k+1且边数m>kΔ，则χ′=Δ+1。

如果在一个l部图G中，|Vi|=ni 任何两点u∈Vi , v∈Vj , i ≠ j , i, j =1, 2,…**定义：设G和H是两个n阶图，称G度弱于H，如果存在双射 μ：V (G)→V(H)，使得对任何点v∈V(G)，有。取v∈V1，由于G 连通，对任何u∈V1∪V2， G中有联结u 和v的路，故d (v, u)有定义。若n阶简单图G不包含Kl+1，则G度弱于某个完全l部图H，且若G具有H相同的度序列，则G ≌ H。设G是n阶简单图，并且不包含Kl+1，则边数m(G)≤ m(Tl, n)。

vn}，则G的邻接矩阵是一个n×n 矩阵A(G) = [ aij ] (简记为A)，其中若vi与vj邻接，则aij=1，否则aij=0.证明：由矩阵理论知：非负对称矩阵的不同特征值的个数等于其最小多项式的次数，而最小多项式的次数等于G的邻接矩阵的维数，所以：d(G)+1 ≤ s = dimΛ(G) ≤ n.顶点vi与顶点vj之间的每条边可以看成是从vi与vj的一条长度为1的途径。是联结vt和vj的长度为k的途径的数目，所以 aitatj(k) 表示由vi经过vt到vj的长度为k+1的途径数目。

ekvk是G中点边交替组成的序列，其中vi∈V，ei∈E，若w满足ei的端点为vi-1与vi，则称w为一条从顶点v0到顶点vk的途径（或通道或通路)，简称(v0, vk)途径。如果图G中任意两点是连通的，称G是连通图，否则称G是非连通图。设G是赋权图，u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路，最短路的权值称为u与v的距离，记为d(u,v)。赋权图：若图G的每一条边e都有一个实数w(e)，称为e的权，则G连同它边上的权称为赋权图。充分性：设G是不包含奇圈的连通图。

定义 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u = (u1, u2) 和 v = (v1, v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G称为G1和G2的积图，记为G = G1×G2。以E’为边集，以E’中边的端点全体为顶点集所组成的子图称为G 的由E’ 导出的子图，记为G[E’ ]，简称为G 的边导出子图。G–E’表示从图G中删去E’中的边之后的子图。

一个图G定义为一个有序对(V,E)，记为G=(V,E)，其中V是一个非空集合，称为顶点集或点集，其元素称为顶点或点。E是由V中的点组成的无序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同一点对在E中可出现多次。图G的顶点集记为V(G)，边集记为E(G)。图G的顶点数（阶数）和边数可分别用符号n(G)和m(G)表示。设V=v1, v2, v3, v4}，E ={v1v2 , v1v2, v2v3 }，则G=(V,E)是一个4阶图。若边e=uv，此时称u和v是e的端点；