数学建模笔记图论与网络优化

最新推荐文章于 2024-01-09 10:16:22 发布

原创

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#图论 #算法 #数据结构

本文深入讲解了Dijkstra、Floyd、Prim和Kruskal算法，探讨了最短路径和最小生成树问题。通过手动实现和编程示例，帮助读者理解算法原理及应用场景。

主要内容

前言

学图论算法的时候要被自己蠢哭了，第一次接触理解得很慢，所以花时间整理了一下，希望能加深一下印象。对于算法都是一些自己比较简单的理解，系统学习了数据结构后可能会有更深的思考。

Dijkstra算法

算法描述
算法证明
归纳法证明：假设对于每次进入永久标号集合S的点ui，依照它的前驱形成的都是最短路。第一个入S的点为起点u1，它的前驱就是u1，显然u1到u1的最短路就是u1->u1，长度为0.假设第n个入队的点满足假设，那么对于第n+1个入队的点v来说，利用反证法，如果d[u1,v]不是u1到v的最短路径，存在另一条更短的路径，那么记该路径最后一个属于S的点为x，x经过若干个点最后到达v，记y是x的后继，那么d[u1,v]<=d[u1,y],(若d[u1,v]>d[u1,y],那么这次入S的便是y而不是v),所以d[u1,y]+d[y,v]>=d[u1,v]，矛盾。
手动实现

接下来手动实现一下以下图从1到8的最短路径
在这里插入图片描述
画方框的即为选中的前驱，右侧为相应点前驱的更新
根据最终前驱得到最短路线：1->2->5->8

编程实现（matlab)

function pre=Dijkstra(A,s,e)
%A为邻接矩阵，s为起点，e为终点
num=size(A,1);
pre=zeros(1,num);%前驱集合
dist=zeros(1,num);%最短距离集合
V=[];%已选点集合
pre(1)=1;%初始化
dist(1)=0;
V(end+1)=1;
for i=2:num
    dist(i)=inf;
end
PRE=1;%最新前驱
while 1
    temp=zeros(1,num);
    for j=1:num
        temp(j)=inf;
    end
    for i=1:num
        if (~checkin(V,i))
            if dist(i)>dist(PRE)+A(i,PRE)
                pre(i)=PRE;
                dist(i)=dist(PRE)+A(i,PRE);
            end
            temp(i)=dist(i);
        end
    end
    PRE=find(temp==min(temp));
    V(end+1)=PRE;
    if length(V)==num
        break;
    end
end
route=[e];
while(e~=s)
    e=pre(e);
    route(end+1)=e;
end
route%输出路线(反向看）

function flag=checkin(set,x)
flag=0;
for i=1:length(set)
    if set(i)==x
        flag=1;
    end
end

clear;clc;
A=[0 2 1 8 inf inf inf inf;0 0 inf 6 1 inf inf inf;0 0 0 7 inf inf 9 inf;
0 0 0 0 5 1 2 inf;0 0 0 0 0 3 inf 9;0 0 0 0 0 0 4 6;0 0 0 0 0 0 0 3;0 0 0 0 0 0 0 0];
A=A+A';
pre=Dijkstra(A,1,8)

结果与手动结果一致

route =

     8     5     2     1


pre =

     1     1     1     6     2     5     4     5

理解
Dijkstra算法算是贪心思想实现的，首先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛一次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历一遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。但缺点是只能计算由固定起点开始的最小路径，而以下介绍的floyd算法可以计算任意两点间的最短路径。
这个讲的蛮细致的：https://blog.youkuaiyun.com/lbperfect123/article/details/84281300

Floyd算法

算法描述
算法证明
如果vi,vj间存在最短路径，（该路径中的子路径也是相应起点和终点的最短路径，）对于这条路径中任意相邻的三个点v1,v2,v3，当算法遍历到v2时，则会连接起来v1，v3，得到v1到v3的最短路径v1->v2->v3。当所有点遍历完成后，vi到vj的最短路径也就被找到了。
手动实现’
传送门：https://blog.youkuaiyun.com/SweeNeil/article/details/88713677
编程实现

function route=Floyd(A,s,e)
num=size(A,1);
R=zeros(num,num);
for i=1:num
        for j=1:num
            R(i,j)=j;
        end
end
D=A;
for k=1:num
    for i