codility上的问题（30） Boron 2013

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探讨如何在一个数组中找到局部最大值的下标，并在此基础上求解最优的K值，确保任意两个下标之间的差距至少为K，整体算法需达到O(N)的时间复杂度。

题目有个背景，但是本质如下，一个数组有N个数，首先先要找到所谓的局部最大值，也就是说，如果数组a下标范围是[0..N-1]，局部最大值的下标x在[1..N - 2]内，并且a[x] > a[x - 1], a[x] > a[x + 1]。先要找到这样的下标index，假设我们形成这样一个index数组，然后求一个K值，从index数组找出K个数，任意两个数的差距都要>=K，求这个最大的K值。需要注意的是第二步的index数组只是数组a的下标，跟a数组原始的数无关。

数据范围 N [1..10^5]，数组中数的范围[1..10^9], 要求时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)。

首先我们找到index数组，按照定义找就行，时间复杂度O(N)，对于K，一个很显然的想法就是2分K，注意K是O(sqrt(N))的，但是二分K，O(logK) = O(logN)，判断K是否可行，我们可以扫一遍index数组，（注意index数组自然有序），常规方法就是贪心，每次选距离上一个恰好大于等于K的点，可是这样复杂度会变为O(NlogN)。其实对于index数组可以我们同样可以二分，每次而分出距离上一个点大于等于K的最小位置。对于每个二分出来的值x，我们2分x次，每次复杂度可以认为O(logN)，于是总共复杂度是O(x * logN), 而X = O(sqrt(N))，外面还有二分K的复杂度，总复杂度是O(log N * log N * sqrt(N)) 这个复杂度在O(N)内。

// you can also use includes, for example:
// #include <algorithm>
#include <cmath>

int find(vector<int> &a,int from, int d) {
    //find the first index x  a[x] - a[from] >= d
    int left = from + 1, right = a.size() - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = (left + right) >> 1;
        if (a[mid] - a[from] >= d) {
            right = mid - 1;
        }
        else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return right + 1;
}
        
int solution(vector<int> &A) {
    // write your code in C++98
    int n = A.size();
    vector<int> a;
    for (int i = 1; i < n -1; ++i) {
        if ((A[i] > A[i - 1]) && (A[i] > A[i + 1])) {
            a.push_back(i);
        }
    }
    if (a.size() < 2) {
        return a.size();
    }            
    // K * (K - 1) <= |a.back() - a.front()|
   // (K - 1) * (K - 1) <= K * (K - 1) <= |a.back() - a.front()|
    int left = 2, right = sqrt(a.back() - a.front()) + 1;
    while (left <= right) {
        int mid = (left + right) >> 1,i,last;
        for (i = 1,last = 0; i < mid; ++i) {
            last = find(a, last, mid);
            if (last >= a.size()) {
                break;
            }
        }
        if (i >= mid) {
            left = mid + 1;
        }
        else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return left - 1;
}