HDU 1257 最少拦截系统 LIS

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本文介绍了一种用于计算最少所需导弹拦截系统数量的方法，通过寻找最长严格上升子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS），确保每个导弹都有足够的系统进行拦截。

某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统.但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能超过前一发的高度.某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭.由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹.

怎么办呢?多搞几套系统呗!你说说倒蛮容易,成本呢?成本是个大问题啊.所以俺就到这里来求救了,请帮助计算一下最少需要多少套拦截系统.

求最长(严格)上升序列(Longest Increasing Subsequence)。这样的长度才是最少需要的套数，因为这个序列中的任何两个导弹都不能共用一个拦截系统，而且其余的导弹都能和这个最长序列中的某个导弹分为同一组。

证明：对于数列中的一个最长(严格)上升序列，长度为k，其余任何数都可以分在这个最长序列中，构成k组单调减序列：

例如 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

已经求得 a3 a5 a6 a8 为最长严格上升子序列(LSIS)，且组成4个组。

对于a9

a9 <= a8 ,否则a9属于这个LSIS；所以，a9可以和a8分一组。

对于a7

若a7 <= a6, 则a7可以和a6分一组；

若a7 > a6,

a. 如果a7 >= a8，则a7可以和a8分一组；

b. 如果a7 < a8, 则 a6 a7 a8 可替代a6 a8,构成LSIS，矛盾。

对于a4,同a7

对于a2，a2 >= a3,否则与LSIS矛盾。所以，a2与a3可分为一组。

对于a1，

若a1 >= a2 可与a3同组

若a1 < a2,

a.如果a1 >= a3，可以与a3分在一组

b.如果a1 < a3, 则 a1 a3 可代替a3，与LSIS，矛盾。

同理可证任意n，k。

#include<stdio.h>
#define N 30001
int ary[N], dp[N];

int LIS(int *ary, int n)
{
	int i, j, m;
	dp[1] = 1;
	for(i = 2; i <= n; i++)
	{
		m = 0;
		for(j = 1; j < i; j++)
		{
			if(ary[i] > ary[j] && dp[j] > m)
			{
				m = dp[j];
			}
		}
		dp[i] = m + 1;
	}
	m = 0;
	for(i = 1; i <= n; i++)
	{	 
	  if(dp[i] > m)
		  m = dp[i];
	 }
	return m;
}
int main()
{
  int n, i, j, m;
  
  while(scanf("%d", &n) != EOF )
 {  
	  for(i = 1; i <= n; i++)
	  {
		scanf("%d", ary + i);
	  }  
	  
	  printf("%d\n", LIS(ary, n));
  }
}

参考：

http://www.wutianqi.com/?p=1850

http://www.chenyajun.com/2010/09/12/4429