广义高斯滤波

高斯滤波器

要将不同的高斯逼近统一为非线性变换，可进行如下的高斯积分逼近计算：

要是上述积分可以计算，那么就可以直接进行分布矩匹配，来对$\mathbf{x},\mathbf{y}$的逼近。

噪声可叠加型高斯滤波器

叠加变换通式：（后面的叠加变换中省略）

叠加变换的高斯矩匹配：

基于矩匹配高斯逼近的$\mathbf{x},\mathbf{y}$分布如下：

叠加噪声的高斯（卡尔曼）滤波器：

预测步骤，利用系统动态模型:$\mathbf{f}(\cdot )$计算预测均值和预测协方差：

更新步骤，利用系统量测模型:$\mathbf{h}(\cdot )$计算预测均值，l量测量预测协方差，状态量与量测量之间的互协方差和滤波增益，滤波均值与方差。（各个变量计算公式按照顺序给出）

噪声不可叠加型高斯滤波器

非爹在变换的通式：（后面的非叠加变换中省略）

非叠加变换的高斯矩匹配：
基于矩匹配高斯逼近的$\mathbf{x},\mathbf{y}$的联合部分为：

非叠加噪声高斯（卡尔曼）滤波器的预测与更新过程：
（所需要计算的量与叠加噪声滤波器一致）

Guass-hermite 卡尔曼滤波器

一维Guass-Hermite积分是指对函数和单位权值函数的积求积分的特例，其逼近形式为：
其中，${\mathbf{W}}_{\mathbf{i}}$是权值，${\mathbf{x}}^{(\mathbf{i})}$为估计点或横坐标，有时也称为$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点。
选择权值和$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点的准则是构造$\mathbf{H}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{e}$多项式进行逼近。如下所示：
其中，$\mathbf{p}$是阶数。
在相同的权值和$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点下，非单位高斯权数函数$\mathbf{N}(\mathbf{x}|\mathbf{m},\mathbf{p})$的积分，可通过换元法变为单位高斯权函数计算，其表达式为：

Gauss-Hermite积分算法

设一维积分的表达式为：

以上是对一维$\mathbf{p}$阶Guass-Hermite逼近；

1).计算$[Hermite]$多项式的根$[{\xi }^{(i)}],i=1,\cdot \cdot \cdot ,p$，将其作为单位$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点。这里将三对角矩阵的特征值作为根，并未构建多项式并计算多项式的根。

2).计算权值：

3). 积分近似为：

Gauss-Hermite容积算法

设多维积分的表达式为：

1). 先计算出一维权值${\mathbf{W}}_{\mathbf{i}}$和单位$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点，${\mathbf{\xi }}^{(i)},i=1,\cdot \cdot \cdot ,p$。
2). 利用一维权值和一维单位$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点计算多维权值和多维单位$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点。3). 积分近似为：

叠加型$\mathbf{G}\mathbf{a}\mathbf{u}\mathbf{s}\mathbf{s}-\mathbf{H}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{m}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{e}$卡尔曼滤波（GHKF）算法：

预测步骤：
1). 选取$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点：
2). 将 $\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点带入动态模型：
3). 计算预测均值和预测协方差：

更新步骤：
1). 选取$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点：
2). 将 $\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点带入量测模型：
3). 计算预测均值，量测量的预测协方差和状态量和量测量之间的互协方差：
4). 结合量测量${\mathbf{y}}_{\mathbf{k}}$，计算滤波增益，滤波均值和协方差。

非叠加类型与叠加类型一致，但对于Guass-Hermite积分运算的增广状态量维数增加，在计算上较复杂。

容积卡尔曼滤波器

球面容积积分：

多维积分表达式为：
则多维积分三阶球面逼近算法为：
1). 计算单位$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点：
其中，${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$为坐标轴$\mathbf{i}$轴上的单位向量。
2). 逼近积分为：

这种积分逼近为无迹变换在参数$\mathbf{\alpha }=1,\mathbf{\beta }=0,\mathbf{\kappa }=0$的一个特例。

（噪声）叠加型容积卡尔曼滤波器CKF

预测步骤：
1). 构造$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点：
其中，$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点定义式为：
2). 将$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点带入动态方程：
3). 计算预测均值，预测协方差：

更新步骤：
1). 构造$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点：
2). 将$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点带入量测方程：
3). 计算预测均值，量测量的预测协方差和状态量与量测量之间的互协方差：
4). 结合量测量，计算滤波器增益，滤波均值和协方差：

（噪声）非叠加型容积卡尔曼滤波

预测步骤：
1). 对增广矩阵$({\mathbf{x}}_{\mathbf{k}-1},{\mathbf{q}}_{\mathbf{k}-1})$构造$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点：
这里，${\mathbf{n}}^{{}^{\prime }}=\mathbf{n}+{\mathbf{n}}_{\mathbf{q}}$，为状态量与噪声的维数之和。$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点的定义为：
2). 将$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点带入动态方程：
这里，${\tilde{\mathbf{\chi }}}_{\mathbf{k}-1}^{(\mathbf{i}),\mathbf{x}}$，${\tilde{\mathbf{\chi }}}_{\mathbf{k}-1}^{(\mathbf{i}),\mathbf{q}}$分别是${\tilde{\mathbf{\chi }}}_{\mathbf{k}-1}^{(\mathbf{i})}$的前$\mathbf{n}$项和后${\mathbf{n}}_{\mathbf{q}}$项。

3). 计算预测均值和预测协方差：

更新步骤：
1). 对增广变量$({\mathbf{x}}_{\mathbf{k}},{\mathbf{r}}_{\mathbf{k}})$构造$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点:
这里，${\mathbf{n}}^{{}^{\prime \prime }}=\mathbf{n}+{\mathbf{n}}_{\mathbf{r}}$，为状态量的维数和量测噪声的维数之和。单位$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点${\mathbf{\xi }}^{(\mathbf{i}{)}^{{}^{\prime \prime }}}$的定义与预测过程的一致，只是将${\mathbf{n}}^{{}^{\prime \prime }}$代替${\mathbf{n}}^{{}^{\prime }}$。
2). 将$\mathbf{s}\mathbf{i}\mathbf{g}\mathbf{m}\mathbf{a}$点带入量测方程：
这里，${\tilde{\mathbf{\chi }}}_{\mathbf{k}}^{-(\mathbf{i}),\mathbf{x}}$，${\tilde{\mathbf{\chi }}}_{\mathbf{k}}^{-(\mathbf{i}),\mathbf{q}}$分别是${\tilde{\mathbf{\chi }}}_{\mathbf{k}}^{-(\mathbf{i})}$的前$\mathbf{n}$项和后${\mathbf{n}}_{\mathbf{r}}$项。

3). 计算预测均值，量测量的预测协方差和量测量与状态量的互协方差：
4). 结合量测量${\mathbf{y}}_{\mathbf{k}}$，计算滤波器增益，滤波状态均值和协方差：

本章总结到此结束，上