UOJ#310 【UNR #2】黎明前的巧克力:FWT

本文探讨了一个特定的编程问题,即寻找数组中两个不相交子集,使它们的异或和相等。通过动态规划(DP)与傅立叶沃尔什变换(FWT)的结合使用,提出了一种高效的解决方案。该方法首先定义了状态dp[i][j],随后通过优化转移方程并利用FWT减少复杂度。

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题意:

给出一个数组a,要求把a数组选出两个不相交且不同时为空的子集,满足两个集合中数字的异或和相等。

题解:

考虑dp[i][j]dp[i][j]表示考虑前ii个数字,且现在两个集合数字的异或和为j时的方案数。转移方程为:

dp[i][j]=dp[i1][j]+2dp[i1][jxora[i]]dp[i][j]=dp[i−1][j]+2∗dp[i−1][jxora[i]]

然后得到了一个n217n∗217的算法。
接下来考虑如何加速这个dp过程。
b[i]b[i]是一个数组,b[i][0]=1b[i][0]=1,b[i][a[i]]=2b[i][a[i]]=2,其他的b[i][j]=0b[i][j]=0,则
dp[i][j]=1dp[i1][jxor0]+2dp[i1][jxora[i]]=k=0Ndp[i1][jxork]b[i][k](3)(4)(3)dp[i][j]=1∗dp[i−1][jxor0]+2∗dp[i−1][jxora[i]](4)=∑k=0Ndp[i−1][jxork]∗b[i][k]

于是我们把转移方程转化为两个数组作异或卷积。即dp[i]=dp[i1]b[i]dp[i]=dp[i−1]∗b[i]这里的乘法为异或卷积。
目前,我们得到了一个更不优秀的n21717n∗217∗17复杂度的算法。
但是考虑整个算法,我们要求的答案是
dp[n]=dp[0]b[1]b[2]...b[n]dp[n]=dp[0]∗b[1]∗b[2]∗...∗b[n]

其中dp[0]dp[0]数组只有dp[0][0]=1dp[0][0]=1,其他dp[0][j]=0dp[0][j]=0
答案就是dp[n][0]1dp[n][0]−1,这个1−1是因为存在一种两个集合都是空集的方案,要去掉。
问题就变成了我们要求连续n个b数组的异或卷积。而每个b数组都有共同的性质:b[i][0]=1b[i][0]=1,且只有一个位置为2,其他位置都是0。
考虑fwt变换,即FWT(b[i])FWT(b[i])数组中
FWT(b[i])[j]=kb[i][k](1)[kandj]FWT(b[i])[j]=∑kb[i][k]∗(−1)[kandj]

其中[x] 表示x的二进制表示中1的个数。
因此我们显然的发现b[i][j]=3orb[i][j]=1b[i][j]=3orb[i][j]=−1,因为b[i]中仅有两个非零值:b[i][0]=1,b[i][a[i]]=2b[i][0]=1,b[i][a[i]]=2带入上面的定义式就可以发现这一点。
那么继续考虑我们做异或卷积的过程是将每个b[i]b[i]数组变换成FWT(b[i])FWT(b[i]),然后对应位置乘起来,再做一次IFWTIFWT即可。
于是我们知道在做对应位置相乘的时候,我们实质上是将若干个3和-1乘起来。于是我们就是要计算每个位置的cnt3cnt3cnt1cnt1。显然
cnt3+cnt1=ncnt3+cnt1=n

进而我们只需要计算
sum[k]=inFWT(b[i][k])sum[k]=∑inFWT(b[i][k])

然后,由方程
3cnt3cnt1=3cnt3(ncnt3)=sum[k]3∗cnt3−cnt1=3∗cnt3−(n−cnt3)=sum[k]

就可以直接解出
cnt3=(sum[k]+n)/4,cnt1=ncnt3cnt3=(sum[k]+n)/4,cnt1=n−cnt3

然后便得到了整个FWT(b[1])FWT(b[2])....FWT(b[n])FWT(b[1])∗FWT(b[2])∗....∗FWT(b[n])的每一项。这里的乘法为对应项相乘。
那么我们在来看一下我们要求的这个
sum[k]=inFWT(b[i][k])=n+2j(1)[a[j]andk]sum[k]=∑inFWT(b[i][k])=n+2∗∑j(−1)[a[j]andk]

再仔细的看一下
j(1)[a[j]andk]∑j(−1)[a[j]andk]

没错。。。我们设A数组,A[i] = 数字 i 在a数组中出现的次数
然后有
sum=FWT(A)sum=FWT(A)

分析完了之后,感觉整个人都智障了不少。。。我们拿着A做一次FWT,然后对于每个位置算出cnt3,cnt1,直接快速幂算好每个位置的值,然后IFWT回去。。。。
复杂度21717217∗17

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1048576;;
const int MOD = 998244353;
const int INV2 = (MOD+1)>>1;
const int INV4 = 1LL*INV2*INV2%MOD;
int a[N];
int bas[N+1];
int n;
void FWT(int *a,int n,int r){
    for (int i=1;i<n;i<<=1){
        for (int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            for (int k =0;k<i;k++){
                int x = a[j+k];
                int y = a[j+k+i];
                if (r){
                    a[j+k] = (x+y)%MOD;
                    a[j+k+i] = (x-y+MOD)%MOD;
                }else{
                    a[j+k] = 1LL*(x+y)*INV2%MOD;
                    a[j+k+i] = 1LL*(x-y+MOD)*INV2%MOD;
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[x]++;
    }
    bas[0] = 1;
    for (int i=1;i<=N;i++){
        bas[i] = 3LL*bas[i-1]%MOD;
    }
    FWT(a,N,1);
    for(int i=0;i<N;i++){
        a[i] = (n+2*a[i])%MOD;
        int cnt3 = 1LL*(a[i]+n)%MOD*INV4%MOD;
        int cnt1 = n-cnt3;
        a[i] = bas[cnt3];
        if (cnt1&1){
            a[i] = MOD-a[i];
        }
    }
    FWT(a,N,0);
    printf("%d\n",(a[0]+MOD-1)%MOD);
    return 0;
}
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