UOJ#310 【UNR #2】黎明前的巧克力:FWT

题意：

给出一个数组a，要求把a数组选出两个不相交且不同时为空的子集，满足两个集合中数字的异或和相等。

题解：

考虑$dp[i][j]$表示考虑前$i$个数字，且现在两个集合数字的异或和为$j$时的方案数。转移方程为：

$$dp[i][j] = dp[i-1][j] + 2*dp[i-1][j \;xor\; a[i]]$$
然后得到了一个 $n*2^{17}$的算法。
接下来考虑如何加速这个dp过程。
设 $b[i]$是一个数组， $b[i][0]=1$, $b[i][a[i]] = 2$，其他的 $b[i][j] =0$，则
$$\begin{align} dp[i][j] &= 1 * dp[i-1][j \; xor \; 0] + 2 * dp[i-1][j \; xor \; a[i]] \\ &=\sum_{k = 0}^{N} dp[i-1][j \; xor \; k] * b[i][k] \end{align}$$
于是我们把转移方程转化为两个数组作异或卷积。即 $dp[i] = dp[i-1] * b[i]$这里的乘法为异或卷积。
目前，我们得到了一个更不优秀的 $n*2^{17}*17$复杂度的算法。
但是考虑整个算法，我们要求的答案是
$$dp[n] = dp[0]*b[1]*b[2]*...*b[n]$$
其中 $dp[0]$数组只有 $dp[0][0] = 1$，其他 $dp[0][j] = 0$。
答案就是 $dp[n][0] - 1$，这个 $-1$是因为存在一种两个集合都是空集的方案，要去掉。
问题就变成了我们要求连续n个b数组的异或卷积。而每个b数组都有共同的性质： $b[i][0] = 1$，且只有一个位置为2，其他位置都是0。
考虑fwt变换，即 $FWT(b[i])$数组中
$$FWT(b[i])[j] = \sum_{k}{b[i][k]*(-1)^{[k\;and\;j]}}$$
其中[x] 表示x的二进制表示中1的个数。
因此我们显然的发现 $b[i][j] = 3 \; or\;b[i][j] = -1$，因为b[i]中仅有两个非零值： $b[i][0] =1,b[i][a[i]] = 2$带入上面的定义式就可以发现这一点。
那么继续考虑我们做异或卷积的过程是将每个 $b[i]$数组变换成 $FWT(b[i])$，然后对应位置乘起来，再做一次 $IFWT$即可。
于是我们知道在做对应位置相乘的时候，我们实质上是将若干个3和-1乘起来。于是我们就是要计算每个位置的 $cnt3$和 $cnt1$。显然
$$cnt3+cnt1 = n$$
进而我们只需要计算
$$sum[k] = \sum_{i}^{n}{FWT(b[i][k])}$$
然后，由方程
$$3*cnt3 - cnt1 = 3*cnt3-(n - cnt3) = sum[k]$$
就可以直接解出
$$cnt3 = (sum[k] + n) /4 , cnt1 = n - cnt3$$
然后便得到了整个 $FWT(b[1])*FWT(b[2])* .... *FWT(b[n])$的每一项。这里的乘法为对应项相乘。
那么我们在来看一下我们要求的这个
$$sum[k] = \sum_{i}^{n}{FWT(b[i][k])} = n + 2*\sum_{j}{(-1)^{[a[j] \; and\; k]}}$$
再仔细的看一下
$$\sum_{j}{(-1)^{[a[j] \; and\; k]}}$$
没错。。。我们设A数组，A[i] = 数字 i 在a数组中出现的次数
然后有
$$sum = FWT(A)$$
分析完了之后，感觉整个人都智障了不少。。。我们拿着A做一次FWT，然后对于每个位置算出cnt3，cnt1，直接快速幂算好每个位置的值，然后IFWT回去。。。。
复杂度 $2^{17}*17$

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1048576;;
const int MOD = 998244353;
const int INV2 = (MOD+1)>>1;
const int INV4 = 1LL*INV2*INV2%MOD;
int a[N];
int bas[N+1];
int n;
void FWT(int *a,int n,int r){
    for (int i=1;i<n;i<<=1){
        for (int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            for (int k =0;k<i;k++){
                int x = a[j+k];
                int y = a[j+k+i];
                if (r){
                    a[j+k] = (x+y)%MOD;
                    a[j+k+i] = (x-y+MOD)%MOD;
                }else{
                    a[j+k] = 1LL*(x+y)*INV2%MOD;
                    a[j+k+i] = 1LL*(x-y+MOD)*INV2%MOD;
                }
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        a[x]++;
    }
    bas[0] = 1;
    for (int i=1;i<=N;i++){
        bas[i] = 3LL*bas[i-1]%MOD;
    }
    FWT(a,N,1);
    for(int i=0;i<N;i++){
        a[i] = (n+2*a[i])%MOD;
        int cnt3 = 1LL*(a[i]+n)%MOD*INV4%MOD;
        int cnt1 = n-cnt3;
        a[i] = bas[cnt3];
        if (cnt1&1){
            a[i] = MOD-a[i];
        }
    }
    FWT(a,N,0);
    printf("%d\n",(a[0]+MOD-1)%MOD);
    return 0;
}