【UOJ 310】黎明前的巧克力

最新推荐文章于 2022-02-07 21:11:27 发布

forever_dreams

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分类专栏： --------数学问题-------- # FFT/NTT/FWT 文章标签： FWT

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探讨了一道有趣的数学问题，通过异或运算和子集计数来找出所有可能的巧克力组合，使得两个玩家最终的味觉体验相同。利用了集合幂级数、异或卷积和快速沃尔什-赫达曼变换（FWT）等高级概念，提出了一种高效算法，时间复杂度为O(nlogn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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problem

Evan 和 Lyra 有 $n$ 个巧克力。

每个巧克力都有一个味道 $a_i$ ，Evan 和 Lyra 的舌头上都还没有残留任何味道（用 $0$ 表示），当他们吃下一块巧克力的时候，舌头上的味道 $b$ 便会异或上这个巧克力的美味值，即 $\;\mathrm{xor}\; a$ 。

Evan 和 Lyra 会各自从盒子中拿一些巧克力吃（即各自选择一个集合并吃掉集合中的巧克力），两个人不能吃同一块巧克力（即集合不能相交），可以有一个人选择不吃巧克力，但不能两个人都不吃。Evan 和 Lyra 不需要把盒子里的巧克力都吃完，有剩余也是可以的。

请求出有多少种方案使得两人舌头上残留着相同的味道，两种方案不同当且仅当 Evan 或 Lyra 选择吃下的巧克力集合不一样。

你只需要输出方案数对 $998244353$ 取模的结果即可。

数据范围： $1≤n≤10^6$ ， $0≤a_i≤10^6$ 。

solution

把问题转化一下，我们需要找出异或和为 $0$ 的非空子集 $S$ ，这样不管 $S$ 怎么分都合法，有 $2^{|S|}$ 的贡献。

由于每个巧克力的集合幂级数是 $1+2x^{\{a_i\}})$ ，把它们全部乘起来（这里的乘是异或卷积的意思）：

$\prod_{i=1}^n(1+2x^{\{a_i\}})$

那么答案就是 $x^{\varnothing}$ 那一项的系数。

但是暴力把所有的卷起来显然是不靠谱的，我们观察一下这些集合幂级数。

发现，把 $1+2x^{\{a_i\}}$ FWT 后的点值 $\in \{−1,3\}$ ，因为 $“ 1 ”$ 会对每一位有 $1$ 的贡献， $2x^{\{a_i\}}”$ 会对每一位有 $2$ 或 $- 2$ 的贡献。

又因为一个性质，即 FWT 后的和等于和的 FWT，所以我们把所有原来的幂级数相加，然后一起 FWT。

然后对于每一位，假设有 $k$ 个 $- 1$ ，那就有 $n - k$ 个 $3$ 。那么有 $k+3(n-k)=f_i$ ，解出 $k=\frac{3n-f_i}4$ （ $f_i$ 就是和的 FWT）。那么还原回 FWT 的乘积后，这一位就是 $(-1)^k\times 3^{n-k}$ 。

最后 IFWT 就行了。

注意最后要减去空集的贡献，即 $a n s - 1$ 。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 2000005
#define P 998244353
using namespace std;
int n,status=1<<20,a[N],f[N],Pow[N];
int add(int x,int y)  {return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
int dec(int x,int y)  {return x-y< 0?x-y+P:x-y;}
int mul(int x,int y)  {return 1ll*x*y%P;}
int power(int a,int b,int ans=1){
	for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
		if(b&1)  ans=mul(ans,a);
	return ans;
}
void FWT(int *f,int lim,int type){
	for(int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		for(int i=0;i<lim;i+=(mid<<1)){
			for(int j=0;j<mid;++j){
				int p0=f[i+j],p1=f[i+j+mid];
				f[i+j]=add(p0,p1),f[i+j+mid]=dec(p0,p1);
			}
		}
	}
	if(type==-1){
		int inv=power(lim,P-2);
		for(int i=0;i<lim;++i)  f[i]=mul(f[i],inv);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n),Pow[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)  scanf("%d",&a[i]),f[0]++,f[a[i]]+=2;
	for(int i=1;i<N;++i)  Pow[i]=mul(Pow[i-1],3);
	FWT(f,status,1);
	int inv4=power(4,P-2);
	for(int i=0;i<status;++i){
		int x=f[i],k=mul(dec(3*n,x),inv4);
		f[i]=(k&1)?(P-Pow[dec(n,k)]):Pow[dec(n,k)];
	}
	FWT(f,status,-1);
	printf("%d\n",dec(f[0],1));
	return 0;
}