洛谷P5115 ： SAM + 边分治 + 虚树dp

题意

给出串$S$，$K1,K2$，求
$$\sum _{1\le i<j\le n}LCP(i,j)\cdot LCS(i,j)\cdot [LCP(i,j)\le K1]\cdot [LCS(i,j)\le K2]$$

题解

不是很懂边分树怎么维护信息的。。。只会边分。
首先对原串$S$和反串$S^{\prime }$建立SAM，然后取出两棵$parent$树，然后在$S$的SAM中找到每个前缀点，以及$S^{\prime }$的SAM中的每个后缀点，分别标号为$1..i$。
则求的东西就是
$$\sum _{1\le i<j\le n}len[LCA(i,j)]\cdot le{n}^{\prime }[LC{A}^{\prime }(i,j)]\cdot [len[LCA(i,j)]\le K2]\cdot [le{n}^{\prime }[LC{A}^{\prime }(i,j)]\le K1]$$
目前为止看起来还是很烦，我们继续处理一下，将$parent$树看成一个有根有边权（可以负）的树，将每个点的$len$($le{n}^{\prime }$)视作是他到根的距离。然后将$S$的$parent$树中$len>K2$点的$len$置为0，同理将$S^{\prime }$的$parent$树中$len>K1$点的$le{n}^{\prime }$置为0。之后便可以认为是一棵有边权的树，根据$dep$来确定每条边的长度。

则求的就是所有点对 在两个数中的LCA的深度之积 的和。即
$$\sum _{1\le i<j\le n}dep[LCA(i,j)]\cdot de{p}^{\prime }[LC{A}^{\prime }(i,j)]$$

到这里就是边分的套路了，可以$O(nlogn)$或者$O(nlo{g}^{2}n)$求解。
具体做法是：
先将某一个LCA化简掉，这里化简掉第一个LCA，即原式等价于
$$1$$