29、求和积算法：原理与应用详解

求和积算法：原理与应用详解

1. 求和积算法概述

求和积算法是一种用于计算边缘化的有效方法，无需引入连接树。在该算法中，我们会用到两种消息：从变量节点发送到局部势节点的消息 $\mu_{X_k \to \gamma_j}(x)$，以及从局部势节点发送到变量节点的消息 $\mu_{\gamma_j \to X_k}(x)$。这里，$x \in X_k$，$N_v$ 表示节点 $v$ 的邻居集合。由于因子图是无向的，根据因子图的定义，节点的所有邻居类型与该节点本身相反。

1.1 消息定义

消息的定义是递归的，具体规则如下：
- 变量节点到局部势节点的消息更新规则 ：
对于 $x \in X_k$，且每个 $X_k \in N_{\gamma_j}$，有
[
\mu_{X_k \to \gamma_j}(x) =
\begin{cases}
\prod_{h \in N_{X_k} \setminus {\gamma_j}} \mu_{h \to X_k}(x), & \forall x \in X_k, N_{X_k} \neq \varnothing \
1, & N_{X_k} = \varnothing
\end{cases}
]
- 局部势节点到变量节点的消息更新规则 ：
对于每个 $\gamma_j \in N_{X_k}$，有
[
\mu_{\gamma_j \to X_k}(x) = \sum_{y \in \tilde{X}^V \setminu