18、某些本原三元BCH码的覆盖半径研究

某些本原三元BCH码的覆盖半径研究

1. 问题提出

在编码理论中，我们关注本原三元BCH码的覆盖半径。设 (q = 3^m)，(C = C(m, \delta)) 是长度为 (q - 1)、设计距离为 (\delta) 的本原三元（狭义）BCH码。这里我们主要考虑 (\delta = 3t - 1) 的情况。

已知当 (q > q_0)（(q_0) 仅依赖于 (\delta)）时，该码的覆盖半径 (\rho) 至多为 (\delta)；而对于足够大的 (q)，根据“超码引理”，有 (\rho \geq \delta - 1)。我们要确定在哪些情况下，(\rho) 能达到这个下界。具体结果如下：
- 当 (\delta = 8) 时，若 (m \geq 20) 且 (m) 为偶数，则码 (C) 的覆盖半径为 7。
- 当 (\delta = 14) 时，若 (m \geq 46)，则码 (C) 的覆盖半径为 13。

为证明这些结论，我们需要对一种原本用于确定二元本原BCH码覆盖半径的方法进行显著修改。对于较小的 (t) 值，我们可以通过显式计算（如使用Maple）来解决某些问题，但我们也在研究针对一般 (t) 的设计距离 (\delta = 3t - 1) 和 (\delta = 3t) 的问题，避免使用计算机。

2. 代数表述

我们的方法第一步是将编码理论问题转化为在有限域 (F_q) 上对某个多项式进行分解的问题，这与二元情形的过程类似。

从Helleseth的思想出发，要证明 (\rho \leq \delta - 1 = 3t - 2)，只需证明对于任意的 (a_k \in F_q)（