17、随机资源分配与流处理资源自动扩展技术解析

随机资源分配与流处理资源自动扩展技术解析

1. 随机资源分配算法

在随机资源分配问题中，我们面临着如何将资源最优分配到多个容器（bins）以满足不同成本函数的挑战。这里介绍了几种相关算法，包括移动棍子算法（Moving Sticks Algorithm）及其广义版本（Generalized Moving Sticks Algorithm，GMVS）。

1.1 移动棍子算法的原理与误差分析

设 (0 = f_0^ \leq f_1^ \leq \cdots \leq f_k^ = 1) 是分数最优解的分割点，(0 = f_0 \leq f_1 \leq \cdots \leq f_k = 1) 是移动棍子算法找到的分割点。(\Delta_j^ ) 和 (\Delta_j) 分别是分割 (f^ ) 和 (f) 中第 (j) 个容器的 (\Delta) 值。在分割 (f^ ) 中，有 (\Delta_1^ = \cdots = \Delta_k^ )。

我们可以证明，当移动棍子算法停止时，所有的 (\Delta_j) 值都彼此接近，即对于任意 (1 \leq j \leq k - 1)，有 (\Delta_j \leq \Delta_{j + 1} + 2\epsilon)。证明过程如下：
设 (f_j’) 是两个容器问题 (j) 和 (j + 1) 的最优分割点，根据算法不变性可知 (\Delta_{[f_{j - 1}, f_j]}^j \geq \Delta_{[f_j, f_{j + 1}]}^{j + 1})。又因为 (f_j’) 是最优分割点，所以 (\