44、编程与数学领域的前沿进展：C99 形式化、Krextor 与 EgoMath2

编程与数学领域的前沿进展：C99 形式化、Krextor 与 EgoMath2

1. C99 标准的形式化项目

1.1 项目概述

C 语言作为世界上最流行的编程语言之一，广泛应用于嵌入式软件和现代操作系统。然而，当前 C99 标准的官方描述使用英语，缺乏精确的数学形式化，存在不完整和模糊的问题。为了解决这一问题，研究团队启动了 Formalin 项目，旨在为 C99 标准创建数学精确的版本。该项目从 2011 年持续到 2015 年，涉及一名全职博士生、一名半职研究人员和多位科学顾问。

1.2 项目团队

姓名	角色	所属机构
Robbert Krebbers	博士生	荷兰拉德堡德大学
Freek Wiedijk	项目负责人	荷兰拉德堡德大学
Herman Geuvers	导师	荷兰拉德堡德大学
James McKinna	顾问	-
Erik Poll	顾问	-
Michael Norrish	HOL 顾问	澳大利亚 NICTA
Andreas Lochbihler	Isabelle 顾问	德国 KIT
Jean - Christophe Filliâtre	Coq 顾问	法国 CNRS

1.3 形式化方法

项目使用交互式定理证明器（证明助手）对 C99 标准进行形式化，开发了三个匹配的版本，分别适用于 HOL4、Isabelle/HOL 和 Coq。这些形式化版本将从一个共同的主形式化派生而来，可使用 Ott 工具生成。整个形式化套件将以开源形式发布，并使用 MKM 工具进行传播。

1.4 形式化内容

形式化内容紧密遵循现有的 C99 标准文本，涵盖了 C 预处理器、C 标准库，以及一些在形式处理中常被忽略的特性，如未指定和未定义的行为、指针与整数的转换、对齐要求、浮点运算、非局部控制流和 volatile 变量等。特别地，为了使工作对嵌入式软件验证有意义，还包括了“独立环境”下 C 程序的标准部分。

1.5 应用场景

• 编译器编写者和程序员 ：C99 形式化使标准更加精确，帮助他们理解标准，避免英语描述的歧义。
• 编译器正确性证明项目 ：如 Compcert 项目，有了 C99 语义的形式化版本，编译器的正确性可以相对于完整的官方标准进行证明。
• 程序正确性证明工具 ：当前使用 VCC 和 Frama - C 等工具证明 C 程序正确性时，这些工具隐含了 C 的语义知识，但不明确。更完善的方法是让工具不仅生成验证条件，还能合成关于程序属性的形式证明。

1.6 形式化结构

每个形式化版本由两部分组成：
- 第一部分 ：定义所有可能的 C 语义空间，类型为 C_semantics。该空间中的点对应不同的 C 变体，如 C99 标准、即将推出的 C1X 标准以及特定机器上特定 C 编译器的行为。
- 第二部分 ：C 的小步结构化操作语义，对应 C 语义空间中的一个点，即形式化定义元素 C99 : C_semantics。

graph LR
    A[C99 标准形式化项目] --> B[形式化方法]
    A --> C[形式化内容]
    A --> D[应用场景]
    A --> E[形式化结构]
    B --> B1[HOL4]
    B --> B2[Isabelle/HOL]
    B --> B3[Coq]
    C --> C1[C 预处理器]
    C --> C2[C 标准库]
    C --> C3[特殊特性]
    D --> D1[编译器编写者和程序员]
    D --> D2[编译器正确性证明项目]
    D --> D3[程序正确性证明工具]
    E --> E1[定义语义空间]
    E --> E2[小步结构化操作语义]

2. Krextor：用于将数学内容贡献到数据网络的可扩展框架

2.1 问题陈述

虽然越来越多的科学知识被贡献到数据网络，但数学功能仍然缺乏。例如，电子科学数据集的数学模型描述对机器不透明，统计数据集缺乏值的推导说明，科学出版物的数字图书馆和数据库缺乏对数学思想应用的信息。

2.2 Krextor 库

为了将数学知识贡献到数据网络，开发了 Krextor 库及其提取模块，用于将 OpenMath、OMDoc 等内容标记的结构大纲转换为 RDF。Krextor 是一个 XSLT 库，提供了方便的模板和函数，用于处理 XML 到 RDF 转换中常见的模式，支持多种 RDF 输出序列化，允许灵活集成到应用程序中。

2.3 发布 OpenMath CDs 为关联数据

当前 Krextor 开发的重点是扩展 OpenMath 2 CD 语言的覆盖范围，准备将官方的 OpenMath CDs 发布为关联开放数据。具体工作包括：
- 维护链接 ：支持维护 OpenMath CDs 中的概念与相关数据集中语义等价概念的链接，通过单独的 RDF 文件进行标注。
- 稳定标识符 ：为符号的数学属性赋予稳定的标识符，因为参考 CD 编码未提供此类标识符。
- 利用现有代码 ：利用现有的 XSLT 代码将 OpenMath 对象转换为 Content MathML 等机器可理解的表示，方便应用程序检索。

2.4 系统演示覆盖范围

• OpenMath CD 提取模块 ：解释如何在 OpenMath CDs 和外部数据集之间创建新链接，以及 RDF 和/或 OpenMath 感知的客户端应用程序如何利用 OpenMath CD 关联数据集。
• 新 MKM 语言提取模块 ：为有兴趣从基于 XML 的 MKM 语言中提取 RDF 的用户提供“黑客会话”，帮助他们将数学知识集合贡献到数据网络。

graph LR
    A[Krextor 框架] --> B[问题陈述]
    A --> C[Krextor 库]
    A --> D[发布 OpenMath CDs]
    A --> E[系统演示覆盖范围]
    B --> B1[电子科学数据集]
    B --> B2[统计数据集]
    B --> B3[科学出版物数据库]
    C --> C1[XSLT 库]
    C --> C2[方便模板和函数]
    C --> C3[多种输出序列化]
    D --> D1[维护链接]
    D --> D2[稳定标识符]
    D --> D3[利用现有代码]
    E --> E1[OpenMath CD 提取模块]
    E --> E2[新 MKM 语言提取模块]

3. EgoMath2：用于维基百科数学搜索的工具

3.1 引言

EgoMath 是专注于数字数学内容的全文搜索引擎。为了使数字数学更易访问，决定在维基百科上实现数学搜索。维基百科的数学符号由 TEX 片段表示，缺乏语义信息，适合作为搜索引擎的应用场景。

3.2 数学搜索关键问题

数学搜索的关键问题是检索数学上相等的公式，被视为一个相似性搜索问题，相似性函数依赖于数学模型。EgoMath2 和其前身使用相同的思想，但在相似性函数、索引和搜索的实现上不同。通过基于内容的注释，利用不同的文本表示进行相似性搜索。

3.3 相似性定义和算法

• 相似性定义 ：EgoMath2 中数学公式的相似性基于预定义数学模型中的数学相等性，并在公式解析树中优先考虑操作而非运算符。例如，公式 a + 7 被泛化为 id + 7。
• 算法 ：
  • 增强算法 ：利用全文搜索引擎在大量单词中快速搜索的优势，为每个公式生成多个由有序单词组成的表示，并像普通文本一样进行索引。
  • 排序算法 ：将每个表示转换为规范表示，确保两个数学上相等但操作数排列不同的公式具有相同的唯一规范表示，相似但不相等的公式具有相似的文本表示。

3.4 新特性和架构变化

• 架构 ：基于最新版本的 Java 全文搜索引擎 Egothor，数学扩展和全文索引器的架构强解耦，更新简单。
• 增强过程 ：使用 XML 配置文件使增强过程易于扩展和配置，可利用文档集的额外知识。
• 用户界面 ：图形用户界面完全重写，简化了索引器与 UI 的连接，添加了数学输入文本元素，引入了匹配公式表示的片段，提高了调试能力。新 UI 具有管理功能，支持不同权限的角色和不同的搜索索引。
• 性能 ：通过缓存公式字符串表示和代码优化，数学索引器的性能提高，在索引维基百科数据集时比以前的版本快 3 倍。

3.5 维基百科与 EgoMath2 的适配

• 准备维基百科数据 ：从维基百科下载文章，筛选出数学文章，将数学符号转换为支持的格式，创建 HTML 页面供 EgoMath2 使用。例如，下载了 2011 年 1 月的英语文章转储（30GB），筛选出 28,376 篇数学文章（425MB 转储），包含超过 240,000 个数学元素。
• 转换数学元素 ：尝试使用 latex2mathml 网络工具将每个数学元素转换为语义更丰富的 MathML。

graph LR
    A[EgoMath2 工具] --> B[引言]
    A --> C[数学搜索关键问题]
    A --> D[相似性定义和算法]
    A --> E[新特性和架构变化]
    A --> F[维基百科与 EgoMath2 的适配]
    B --> B1[数字数学内容搜索]
    B --> B2[维基百科应用]
    C --> C1[检索相等公式]
    C --> C2[相似性搜索问题]
    D --> D1[相似性定义]
    D --> D2[增强算法]
    D --> D3[排序算法]
    E --> E1[架构]
    E --> E2[增强过程]
    E --> E3[用户界面]
    E --> E4[性能]
    F --> F1[准备维基百科数据]
    F --> F2[转换数学元素]

4. 综合对比与未来展望

4.1 技术对比

项目	核心目标	主要技术手段	应用场景
C99 标准形式化项目	创建数学精确的 C99 标准版本	使用交互式定理证明器（HOL4、Isabelle/HOL、Coq），借助 Ott 工具	编译器编写、编译器正确性证明、程序正确性证明
Krextor	将数学知识贡献到数据网络	开发 XSLT 库及提取模块，转换 OpenMath、OMDoc 等标记为 RDF	数学知识的关联数据发布
EgoMath2	实现维基百科上的数学搜索	基于 Egothor 引擎，采用增强和排序算法	数字数学内容搜索

从技术手段来看，C99 标准形式化项目侧重于逻辑证明和形式化定义，Krextor 聚焦于数据格式转换，而 EgoMath2 则围绕搜索算法和索引优化。在应用场景方面，它们分别针对编程、数据网络和信息检索领域，具有不同的侧重点。

4.2 未来可能的发展方向

• 跨领域融合 ：C99 形式化可以与 Krextor 结合，将 C 语言相关的数学模型以关联数据的形式发布到数据网络，方便更多开发者和研究者获取和利用。例如，将 C 语言标准库中的数学函数语义以 RDF 形式表示，与其他数学知识进行关联。
• 搜索功能拓展 ：EgoMath2 可以进一步利用 Krextor 转换后的关联数据，丰富搜索的语义信息。比如，在搜索数学公式时，不仅能找到文本相似的公式，还能关联到语义相关的数学概念和应用场景。
• 标准更新与维护 ：随着 C 语言标准的更新（如从 C99 到 C1X），C99 形式化项目需要持续跟进，确保形式化版本的准确性和完整性。同时，Krextor 也需要不断扩展对新的数学标记语言和标准的支持。

graph LR
    A[跨领域融合] --> A1[C99 与 Krextor 结合]
    A --> A2[EgoMath2 利用 Krextor 数据]
    B[搜索功能拓展] --> B1[丰富搜索语义信息]
    C[标准更新与维护] --> C1[C99 形式化跟进新标准]
    C --> C2[Krextor 支持新标记语言]

4.3 对行业的影响

• 编程领域 ：C99 标准的精确形式化将提高编译器的质量和可靠性，减少因标准理解歧义导致的编程错误。同时，为程序正确性证明提供了更坚实的基础，有助于开发更安全、高效的 C 语言程序。
• 数学知识管理领域 ：Krextor 使得数学知识能够以更结构化、关联化的方式存在于数据网络中，促进了数学知识的共享和复用。研究者可以更方便地获取和整合相关数学知识，加速数学研究的进展。
• 信息检索领域 ：EgoMath2 在维基百科上的数学搜索功能，为用户提供了更便捷的获取数学信息的途径。对于学生、教师和科研人员来说，能够快速找到所需的数学公式和相关知识，提高学习和研究效率。

5. 总结

本文介绍了三个在编程和数学领域具有重要意义的项目：C99 标准的形式化项目、Krextor 可扩展框架以及 EgoMath2 数学搜索工具。C99 形式化项目解决了 C 语言标准描述的模糊性问题，为编程和编译器开发提供了精确的依据；Krextor 框架促进了数学知识在数据网络中的传播和关联；EgoMath2 则改善了数字数学内容的搜索体验。

这些项目各自具有独特的技术特点和应用场景，但也存在相互融合和拓展的可能性。未来，随着技术的不断发展，它们有望在跨领域合作和功能拓展方面取得更大的突破，为编程、数学研究和信息检索等领域带来更多的便利和创新。

希望本文能够帮助读者了解这些前沿项目的核心内容和潜在价值，激发更多的研究和应用探索。如果你对这些项目有任何疑问或想法，欢迎在评论区留言讨论。