19、概率理论基础与应用

概率理论基础与应用

1. 概率理论基础概念

1.1 概率空间与样本空间

概率空间由两部分组成：一是包含实验所有可能结果的有限集Ω，称为样本空间；二是为每个可能结果分配概率的方法。用数学语言表示，概率空间是一个有限的结果集Ω和一个函数Pr : Ω → R，且满足对于所有ω ∈ Ω，0 ≤ Pr(ω) ≤ 1，以及所有ω∈Ω的Pr(ω)之和为1。

1.2 示例说明

• 抛硬币 ：抛一枚硬币，有正面（H）和反面（T）两种结果，样本空间Ω = {H, T}。若为公平硬币，每个结果的概率相等，即Pr(H) = Pr(T) = 1/2。
• 掷两个骰子 ：样本空间Ω是36对数字的集合，即Ω = {(n, m) : n, m ∈ Z 且 1 ≤ n, m ≤ 6}。每个可能结果的概率相等，Pr((n, m)) = 1/36。例如，掷出(6, 6)和(3, 4)的概率相同。
• 从瓮中取球 ：假设瓮中有100个球，21个白色，79个黑色。随机取10个球（无放回），恰好取到3个白球的概率为：
  [Pr(\text{10次取球中恰好3个白球}) = \frac{\binom{21}{3}\binom{79}{7}}{\binom{100}{10}} \approx 0.223]

1.3 复合事件概率

复合事件是样本空间的子集，可能包含多个结果。例如，掷两个骰子时，至少有一个骰子显示6的事件E，E = {(1, 6), (6, 1), (2, 6)