概率统计与R语言入门
1. 双变量正态分布
双变量正态分布是统计学和应用领域中广泛使用的分布之一,它是一维正态分布的推广。具有以下特性:
- 边缘分布和条件分布 :边缘分布和条件分布均为正态分布。
- 独立性 :若双变量正态随机变量X和Y不相关(E[XY ] = E[X]E[Y ]),则它们相互独立。
双变量标准正态密度函数为:
[f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - \rho^2}} e^{-\frac{x^2 - 2\rho xy + y^2}{2(1 - \rho^2)}}]
双变量标准正态分布的性质:
1. X和Y的边缘分布是标准正态分布。
2. 给定Y = y时,X的条件分布是均值为ρy,方差为(1 - \rho^2)的正态分布;同理,给定X = x时,Y的条件分布也类似。
3. 若(\rho = 0),则X和Y相互独立。
4. 令(Z_1 = X),(Z_2 = \frac{Y - \rho X}{\sqrt{1 - \rho^2}}),则(Z_1)和(Z_2)是独立的标准正态变量。
5. 对于非零常数a和b,(aX + bY)服从均值为0,方差为(a^2 + b^2 + 2ab\rho)的正态分布。
以下是一些相关练习:
1. 设X和Y是独立同分布的正态随机变量,证明(X + Y)和(X - Y)相互独立。
2. 设U和V具有相关系数为ρ的双变量标准正态分布,求E[UV ];设X和Y具有参数为(\mu_X),(\mu_Y),(\sigma^2_X