33、概率统计与R语言入门

概率统计与R语言入门

1. 双变量正态分布

双变量正态分布是统计学和应用领域中广泛使用的分布之一，它是一维正态分布的推广。具有以下特性：
- 边缘分布和条件分布 ：边缘分布和条件分布均为正态分布。
- 独立性 ：若双变量正态随机变量X和Y不相关（E[XY ] = E[X]E[Y ]），则它们相互独立。

双变量标准正态密度函数为：
[f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - \rho^2}} e^{-\frac{x^2 - 2\rho xy + y^2}{2(1 - \rho^2)}}]

双变量标准正态分布的性质：
1. X和Y的边缘分布是标准正态分布。
2. 给定Y = y时，X的条件分布是均值为ρy，方差为(1 - \rho^2)的正态分布；同理，给定X = x时，Y的条件分布也类似。
3. 若(\rho = 0)，则X和Y相互独立。
4. 令(Z_1 = X)，(Z_2 = \frac{Y - \rho X}{\sqrt{1 - \rho^2}})，则(Z_1)和(Z_2)是独立的标准正态变量。
5. 对于非零常数a和b，(aX + bY)服从均值为0，方差为(a^2 + b^2 + 2ab\rho)的正态分布。

以下是一些相关练习：
1. 设X和Y是独立同分布的正态随机变量，证明(X + Y)和(X - Y)相互独立。
2. 设U和V具有相关系数为ρ的双变量标准正态分布，求E[UV ]；设X和Y具有参数为(\mu_X)，(\mu_Y)，(\sigma^2_X