15、离散分布的宝库：几何分布与负二项分布详解

离散分布的宝库：几何分布与负二项分布详解

在概率统计的领域中，离散分布是一个重要的组成部分，它能帮助我们解决许多实际问题。本文将深入探讨几何分布和负二项分布的相关知识，包括它们的定义、性质、应用以及在R语言中的实现。

1. 几何分布

几何分布描述了在独立重复的伯努利试验中，直到第一次成功所需的试验次数。

1.1 定义与概率质量函数

设随机变量 (X) 表示直到第一次成功所需的试验次数，如果 (X) 服从参数为 (p) 的几何分布，其概率质量函数为：
[P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p, \quad k = 1, 2, \cdots]
我们记为 (X \sim Geom(p))，其中 (p) 被称为成功参数。

例如，约翰每天购买一张“pick - 3”彩票，该彩票的中奖概率为 (p = \frac{1}{1000}=0.001)。设 (X) 为约翰中奖所需的天数，则 (X \sim Geom(0.001))。

计算约翰在接下来一年（365天）内中奖的概率 (P(X \leq 365)) 有两种方法：
- 方法一：直接求和
[P(X \leq 365) = \sum_{k = 1}^{365}P(X = k) = \sum_{k = 1}^{365}0.999^{k - 1}(0.001) = 1 - 0.999^{365} = 0.3059]
这里使用了几何级数的部分和公式 (\sum_{k = 1}^{n}r^{k - 1} = \frac{1 - r^{n}}{1 - r})（(r \neq 1)）。