7、独立性与独立试验相关知识解析

独立性与独立试验相关知识解析

1. 事件的独立性与依赖性

1.1 独立事件的定义

直观上，如果一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率，那么这两个事件就是独立事件。从数学定义来说，若事件 (A) 和 (B) 满足 (P(A|B) = P(A))，则称事件 (A) 和 (B) 是独立事件；反之，则称它们是依赖事件。
例如，从标准扑克牌中抽一张牌，设 (A) 为抽到黑桃的事件，(B) 为抽到 (A) 牌的事件。计算可得 (P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(\text{黑桃 A})}{P(\text{A 牌})} = \frac{1/52}{1/13} = \frac{1}{4} = P(A))，所以 (A) 和 (B) 是独立事件。

需要注意的是，独立性和互斥性是不同的概念。互斥事件意味着 (AB = \varnothing)，可以通过维恩图判断；而独立性更微妙，仅靠维恩图无法判断，需要知道 (P(A))、(P(B)) 和 (P(AB)) 的值。
若 (A) 和 (B) 独立，那么 (B) 和 (A) 也独立，且 (P(B|A) = P(B))。同时，根据条件概率公式可得 (P(AB) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B))，这个公式有时也作为独立事件的主要定义，被称为独立事件的乘法规则。

1.2 实际建模中的独立性假设

在实际建模中，我们常常根据现实世界中看似合理的假设，事先认定某些事件是独立的。例如，连续抛硬币通常被建模为独立事件。不过，任何模型都不是 100% 准确的。
在一项关于抛硬币的研究中，Diaconis（2007）分析了用手接住硬币的自