选择排序

选择排序

选择排序是一种比较简单的排序算法，它是一种线性排序算法，通过比较每个位置上的元素和它之后的所有元素来进行排序。

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原理

假定现在有一个长度为n的数组$\{a_1,a_2,...,a_n\}$
1. 从$a_1$开始到$a_{n-1}$，每一个位置上的元素都与它之后的所有元素进行比较，如果比下一位的元素大，就交换两个元素的位置。然后该位置用新元素与之后的元素进行比较。
2. 通过第一次遍历后，最小的数就被筛选出来，放在$a_1$的位置，相当于这个数已经被放在正确的位置上。
3. 排除掉$a_1$，n–,对后面的元素数组排序。
4. 重复前面三步，直到所有的元素都被放在正确的位置上。相当于排除掉已经放在正确位置上的数，对剩下的数组元素做排序。

每一次对剩余每一次遍历可以确定一个数的位置，第n-1次遍历完成之后数组排序完成。

分析

初始数组 $\{4\; 3\; 5\; 1\; 2\}$
这里分析第一次排序

1. 4 3 比较，完成后  3  4  5  1  2
2. 3 5 比较，完成后  3   4  5 1  2
3. 3 1 比较，完成后  1  4  5  3  2
4. 1 2 比较，完成后  1  4  5  3  2

可以发现第一次的排序就是将最小值1移到最后一位的过程。

代码

void swap(int* a, int* b)
{
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}
void sort(int* arr, int len)
{
    for(int i = 0; i < len - 1; i++) {
        for(int j = i + 1; j < len; j++) {
            if(arr[i] > arr[j])
                swap(arr + i, arr + j);
        }
    }
}

时间复杂度

n个元素的数组要进行n-1次遍历，每次遍历最多进行的交换次数依次为
n-1 , n-2 , n-3 , …. , 1
将其相加，结果为

$$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\sum_{i=1}^{n-1} i=\frac{n(n-1)}{2}$$

所以选择排序的时间复杂度为 $O(n^2)$.