二进制问题解题思路

注：部分内容直接来自：MoreWindows博客：http://blog.youkuaiyun.com/MoreWindows，另外还有根据《剑指offer》添加的内容

一：基础知识

基本的位操作符有与、或、异或、取反、左移、右移这6种，它们的运算规则如下所示：

符号	描述	运算规则                        by MoreWindows
&	与	两个位都为1时，结果才为1
|	或	两个位都为0时，结果才为0
^	异或	两个位相同为0，相异为1
~	取反	0变1，1变0
<<	左移	各二进位全部左移若干位，高位丢弃，低位补0
>>	右移	各二进位全部右移若干位，对无符号数，高位补0，有符号数，各编译器处理方法不一样，有的补符号位（算术右移），有的补0（逻辑右移）

注意以下几点：

1. 位操作只能用于整形数据，对float和double类型进行位操作会被编译器报错。

2. 对于移位操作，在微软的VC6.0和VS2008编译器都是采取算术称位即算术移位操作，算术移位是相对于逻辑移位，它们在左移操作中都一样，低位补0即可，但在右移中逻辑移位的高位补0而算术移位的高位是补符号位。

举例：

1. int a = -15, b = 15;  
2. printf("%d %d\n", a >> 2, b >> 2);  

会得到a = -4 , b = 3 。

原因是：

假设int类型占4个字节，32位，则

15 = 00000000 00000000 00000000 00001111   取低8位，简记为：00001111

-15 =11111111 11111111 11111111 11110001   取低8位    简记为：11110001

15=0000 1111(二进制)，右移二位，最高位由符号位填充将得到0000 0011即3

-15 = 1111 0001(二进制)，右移二位，最高位由符号位填充将得到1111 1100即-4

（注：负数的二进制表示为负数对应正数取反加1，转化为正数也是取反加1，比如 -15 想要表示成二进制先写出15的二进制表示形式00001111，然后对其取反并加1，得到11110001。 想要对-15的二进制表示转换成10进制，就对11110001取反并加1 得到00001111 即15  然后在加个负号就可以）

3.一定要注意：位操作符的运算优先级比较低，因为尽量使用括号来确保运算顺序，否则很可能会得到莫明其妙的结果。比如要得到像1，3，5，9这些2^i+1的数字。写成int a = 1 << i + 1;是不对的，程序会先执行i + 1，再执行左移操作。应该写成int a = (1 << i) + 1;

二：常用位操作小技巧

1.判断奇偶

不管是正数还是负数只要根据最未位是0还是1来决定，为0就是偶数，为1就是奇数。因此可以用if (a & 1 == 0)代替if (a % 2 == 0)来判断a是不是偶数。

2.不使用新变量，交换两个变量的值

方法一：利用异或运算的规律：

1. 异或运算^满足交换律。即b^(a^b)=b^b^a

2. 一个数和自己异或的结果为0

3.任何数与0异或都不变

4. 任何数与-1异或都是相当于取反（在下面求绝对值时用的到）

得到：

1. void Swap(int &a, int &b)  
2. {  
3.     if (a != b)  
4.     {  
5.         a ^= b;  
6.         b ^= a;  
7.         a ^= b;  
8.     }  
9. }  

可以这样理解：

第一步  a^=b 即a=(a^b);

第二步  b^=a 即b=b^(a^b)，由于^运算满足交换律，b^(a^b)=b^b^a。由于一个数和自己异或的结果为0并且任何数与0异或都会不变的，所以此时b被赋上了a的值。

第三步 a^=b 就是a=a^b，由于前面二步可知a=(a^b)，b=a，所以a=a^b即a=(a^b)^a。故a会被赋上b的值。当然还有一种解法类似，如下：（缺点，如果a和b很大的话会容易导致越界）

1. void Swap(int &a, int &b)  
2. {  
3.     if (a != b)  
4.     {  
5.         a = a + b;
6.        b = b - a;
7.         a = b - a; 
8.     }  
9. }  

3．变换符号

根据上面15与-15转换的例子，我们知道变换符号只需要取反后加1即可

1. int SignReversal(int a)