整数划分

xiaowei_nbu

于 2015-12-29 21:05:40 发布

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分类专栏： ACM

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本文介绍了一种计算正整数不同划分方式数量的算法，并通过递归关系实现了具体的功能。文章给出了递归公式及其解释，并提供了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+...+nk, 其中n1>=n2>=....>=nk>=1, k >=1

求正整数n的不同划分个数。

例如正整数6有如下11中不同的划分：

5+1

4+2，4+1+1

3+3，3+2+1，3+1+1+1

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

如果设P(n)为正整数n的划分数，则对于找到递归关系是很困难，我们不妨引入这样一个变量：将n最大加数不大于m的划分个数记做q(n,m)

那么，我们就可以建立如下的递归关系

1. q(n, 1) = 1, n > 1

当最大加数ni不大于1的时候，任何正整数n只有一种划分形式，即n = 1+1+1+....+1

2. q(n, m) = q(n, n), 当m >= n

最大加数ni实际上是不能大于n的。如q(1, m) = 1

3. q(n, n) = q(n, n-1) + 1

正整数n的划分可以有ni = n的划分和ni <= n-1的划分组成

4. q(n, m) = q(n, m-1) + q(n-m, m), n > m > 1

正整数n的最大加数ni不大于m的划分由：

ni <= m-1的划分（全部划分< m）和ni = m的划分组成。

q(n-m, m)：即去掉一个m后n-m的可能划分数

#include<iostream>
using namespace std;

int fun(int n, int m)
{
	if(n == 1 || m == 1)
		return 1;
	else if(n < m)
		return fun(n, n);
	else if(n == m)
		return fun(n, m-1) + 1;
	else
		return fun(n, m-1) + fun(n-m, m);
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<fun(n, n)<<endl;

	return 0;
}