Codeforces 919E - Congruence Equation

最新推荐文章于 2019-04-04 10:44:39 发布

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分类专栏：数学

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博客介绍了一个数学问题的求解思路，运用费马小定理，将n化为n = i + y(p - 1)的形式，经过一系列推导得出y的表达式，将题目转换为遍历i，确定每个i对应的y的上界，进而求解满足条件的y的个数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

费马小定理。

n*a^n = b (mod p)

根据费马小定理 a^(p-1) = 1 (mod p)

我们把n化为 n=i+y(p-1)

于是[i+y(p-1)]*a^ [i+y(p-1)] = b (mod p)

再根据费马小定理a^ [i+y(p-1)]=a^i (mod p)

于是[i+y(p-1)]*a^i = b (mod p)

于是y = (b/(a^i)-i)/(p-1) (mod p)

于是y = (b/(a^i)-i)/(p-1) +k*p(除法用逆元做)

我们发现如果i>p，那么mod p 后还是在0 到 p-1的范围内，所以 0<=i<p，又因为i=0不满足题意，于是0<i<p

于是题目就转换成了遍历i，对于每个i，找有多少个y满足题意

因为n<=x，所以i+y*(p-1)<=x，所以y<=(x-i)/(p-1)，所以对于每个i的y的上界可以确定，找y的个数就很简单了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>

using namespace std;

long long a,b,p,x;
long long ans;

long long powd(long long c,long long d)
{
    long long anss=1;
    while(d>0)
    {
        if(d%2==1)
            anss=anss*c%p;
        c=c*c%p;
        d/=2;
    }
    return anss;
}

long long inv(long long x)
{
    return powd(x,p-2);
}

int main() {
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&p,&x))
    {
        ans=0;
        long long ac=1;
        for(long long c=0;c<p-1;c++)
        {
            long long k=(c-b*inv(ac))%p;
            k=(k+p)%p;
            long long sta=k;
            long long end=(x-c)/(p-1);
            long long tans=(end-sta)/p + 1;

            if(sta==0 && c==0)
                tans--;
            if(x<c|| end<sta || tans<0)
                tans=0;
            ans+=tans;
            ac=ac*a%p;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}