Codeforces Round #363 (Div. 1) C LRU 概率dp

c_cl

于 2018-07-25 21:33:42 发布

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本文介绍了一种基于动态规划的方法来解决缓存替换策略中元素出现概率的问题。通过将问题转换为从后向前考虑元素进入缓存的过程，避免了直接处理元素移出缓存的复杂性。该方法使用位操作和概率论来高效地计算每个元素出现在包含特定数量元素的缓存中的概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述

法一（cf上的题解）：把问题倒过来想。假设从最晚访问的元素开始向前加元素，加到k个为止。求第i个出现的概率。这样就不同考虑从缓存区有文件出来了。
将20个元素压位，dp[mask]记录mask状态（由 0/1 表示的状态）出现的可能性。当1<< i在mask中为0，也就是第i个元素没有出现过时，dp[mask]可以转移到dp[mask+(1<< i)]，表示第i个元素在mask中所有已存在元素之前加入，转移时要乘上概率p(i)/(p(i)+p(x))，其中p(x)是除了mask中元素和i元素的其他元素出现的概率，这个式子的含义是在除了已经在mask中出现的元素中，i第一个出现，所以用i的概率除以还没被选入mask中元素的概率和。最后答案只要统计一下有k个元素且第i个元素存在的状态的概率和。
要注意的是如果有概率为0的要直接去掉，因为这个元素根本不能进缓存，如果没有去掉，答案肯定是会出问题的。而且去掉这些元素后，要保证k<=n。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
int n,k;
double a[25];
double dp[(1<<20)+10];
double ans[25];
int main()
{
    //cout<<()<<endl;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%lf",&a[i]);

        int z=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(a[i]<1e-10)
                z++;

        k=min(k,n-z);

        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(ans,0,sizeof(ans));

        int len=(1<<n);
        dp[0]=1;

        for(int i=0;i<len;i++)
        {
            double sum=0;
            int f=1;
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                if((i&(1<<j))==0)
                {
                    sum+=a[j];
                }
                if((i&(1<<j))!=0 && a[j]==0)
                {
                    f=0;
                }
            }

            if(f==0)
            {
                continue;
            }
            int ct=0;
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                if((i&(1<<j))!=0)
                {
                    ct++;
                    dp[i]+=(dp[i-(1<<j)]*(a[j])/(a[j]+sum));

                }
            }

            if(ct==k)
            {
                for(int j=0;j<n;j++)
                {
                    if((i&(1<<j))!=0)
                    {
                        ans[j]+=dp[i];
                    }
                }
            }

        }

        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            printf("%.8f ",ans[i]);
        }
        printf("\n");
    }
}