15、递归关系的求解与分析

递归关系的求解与分析

1. 变换表的使用

对于形如 $F(n) = b F(\lfloor\frac{n - 1}{2}\rfloor) + \varphi(n)$ 和 $F(n) = b F(\lceil\frac{n + 1}{2}\rceil) + \varphi(n)$ 的递归关系，可利用 $\lfloor\frac{n + 1}{2}\rfloor = \lceil\frac{n}{2}\rceil$ 和 $\lceil\frac{n - 1}{2}\rceil = \lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 这两个恒等式，将其转化为特定表格中的关系。以下是具体的变换表：
| 递归关系 | 变换方式 | 变换后的关系 |
| — | — | — |
| $F(n) = b F(\lfloor\frac{n - 1}{2}\rfloor) + \varphi(n)$，$n \geq n_0$ | $F(n) = G(n + 1)$ | $G(n) = b G(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor) + \varphi(n - 1)$，$n \geq n_0 + 1$ |
| $F(n) = b F(\lceil\frac{n + 1}{2}\rceil) + \varphi(n)$，$n \geq n_0$ | $F(n) = G(n - 1)$ | $G(n) = b G(\lceil\frac{n}{2}\rceil) + \varphi(n + 1)$，$n \geq n_0 - 1$ |
| $F(n) = F(\lfloor\frac{n - 1}{2}\rfloor) + F(\lceil\frac{n - 1}{2}\rce