14、递归关系的深入解析与求解方法

递归关系的深入解析与求解方法

1. 重要定理介绍

首先，有一个关键的定理。设函数 (T(n)) 由以下递归关系定义，其中 (a > 0)，(b > 1)，(d \geq 0)：
(T(n) = aT\left(\left\lfloor\frac{n}{b}\right\rfloor\right) + f(n))，且 (f(n) = O(n^d))。
那么该函数满足以下性质：
[
T(n) =
\begin{cases}
O(n^d) & \text{如果 } d > \log_b(a) \
O(n^d \log(n)) & \text{如果 } d = \log_b(a) \
O(n^{\log_b(a)}) & \text{如果 } d < \log_b(a)
\end{cases}
]
这个定理在分析递归算法的复杂度时非常有用，它能帮助我们快速判断函数的增长趋势。

2. 涉及 (\lfloor n/2\rfloor) 和 (\lceil n/2\rceil) 的特殊线性方程

接下来介绍一些特殊的线性方程，它们涉及 (\lfloor n/2\rfloor) 和 (\lceil n/2\rceil)。这里有三张表格，它们给出了不同递归关系的解、齐次部分的解、非齐次关系的特解以及特解的渐近公式。

递归关系	齐次部分的解（对所有 (n \geq 1) 有效）	非齐次关系的特解（对所有 (n \g