6、随机过程与随机变量相关知识解析

随机过程与随机变量相关知识解析

1. 随机过程的基本概念

随机过程是一组随机变量的集合，用({X(t), t \in T})表示。对于每一个(t \in T)，(X(t))都是一个随机变量。通常，索引(t)被解释为时间，因此(X(t))被称为过程在时间(t)的状态。

例如，(X(t))可以表示到时间(t)为止进入超市的顾客总数，或者在时间(t)时超市内的顾客数量，又或者到时间(t)为止超市记录的销售总额等等。

集合(T)被称为过程的索引集。当(T)是可数集时，随机过程被称为离散时间过程；如果(T)是实数轴上的一个区间，随机过程则被称为连续时间过程。比如，({X_n, n = 0, 1, \cdots})是以非负整数为索引的离散时间随机过程；而({X(t), t \geq 0})是以非负实数为索引的连续时间随机过程。

随机过程的状态空间定义为随机变量(X(t))所能取到的所有可能值的集合。

2. 随机过程的实例分析

2.1 电池使用寿命问题

有一种特殊类型的电池，其使用寿命是一个随机变量，均值为(40)小时，标准差为(20)小时。当一个电池失效后，会立即用一个新电池替换。假设有(25)个这样的电池，且它们的使用寿命相互独立。我们想近似计算这些电池的总使用时间超过(1100)小时的概率。

设(X_i)表示第(i)个投入使用的电池的使用寿命，我们要求的概率(p = P(X_1 + \cdots + X_{25} > 1100))。根据中心极限定理，由于(E[X_i] = 40)，(Var(X_i) = 20^2 = 400)，(n = 25)，则(\sum_{i = 1}^